Suites arithmétiques: Définitions et propriétés
Suite arithmétique
Une suite (un) est dite arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. Le nombre r est appelé la raison de la suite.
Lorsqu'on considère une suite arithmétique (un), on avance dans la suite en ajoutant successivement la même quantité, appelée raison, au terme précédent. On remarque alors que la différence entre deux termes consécutifs, un+1 - un, reste constante et égale à r.
Exemples de suites arithmétiques
Prenons quelques exemples pour illustrer ces concepts :
1) Considérons la suite des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Ici, chaque terme est obtenu en ajoutant 1 au terme précédent. La suite est donc arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
2) Prenons la suite des multiples de 3 : 0, 3, 6, 9, 12, ... Chacun des termes est obtenu en ajoutant 3 au terme précédent, ce qui fait de cette suite une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 3.
3) Considérons la suite définie pour tout entier n par wn = 4n + 7. Calculons la différence wn+1 - wn :
wn+1 = 4(n+1) + 7 = 4n + 4 + 7 = 4n + 11
wn = 4n + 7
Ainsi, wn+1 - wn = (4n + 11) - (4n + 7) = 4.
Donc wn+1 = wn + 4. Avec w0 = 7, w est la suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 4.
Expression explicite d'une suite arithmétique
Il est possible d'exprimer tout terme d'une suite arithmétique de manière explicite en fonction de son rang grâce à une formule. Si un est le premier terme et r la raison, alors le terme de rang n de la suite est donné par :
un = u0 + n * r
Cette formule permet de calculer directement tout terme de la suite sans avoir à trouver successivement tous les termes précédents. Cela confère une grande efficacité quand on travaille avec de longs termes.
Propriétés des suites arithmétiques
Les suites arithmétiques bénéficient de plusieurs propriétés intéressantes :
1) La somme des termes d'une suite arithmétique se fait de manière simple et directe. Si on souhaite calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique (un), notée Sn, alors on utilise la formule :
Sn = n/2 * (u0 + un)
où un est le n-ième terme de la suite. Cette formule illustre la symétrie dans l'addition des termes quelconques dans une suite arithmétique.
2) Toute suite arithmétique peut être visualisée graphiquement comme une ligne droite dans un espace où l'abscisse représente le rang des termes et l'ordonnée la valeur des termes. La pente de cette droite est justement la raison r de la suite.
A retenir :
En résumé, une suite arithmétique est caractérisée par son premier terme et sa raison, qui détermine la progression constante entre les termes. Les propriétés de ces suites permettent de facilement calculer n'importe quel terme ou somme de termes, et elles s'illustrent par des représentations graphiques simples et intuitives. La compréhension de ces éléments est essentielle et s'applique dans divers contextes mathématiques au lycée et au-delà.
