Définition
Proportion
La proportion est le rapport entre une sous-population et la population totale, exprimé généralement sous la forme d'un nombre décimal.
Pourcentage
Le pourcentage est une manière d'exprimer une proportion en multipliant le nombre décimal par 100.
Variation absolue
La variation absolue est la différence entre la valeur finale et la valeur initiale d'une quantité.
Variation relative (ou taux d'évolution)
La variation relative est le rapport de la variation absolue à la valeur initiale, souvent exprimé en pourcentage.
I. Proportion et pourcentage
A. Proportion d’une sous-population
Dans un ensemble donné, la proportion d'une sous-population est calculée en divisant la taille de cette sous-population par la population totale de référence. Par exemple, sur les 480 élèves inscrits en seconde, 108 sont externes. La proportion d'élèves externes est donc de 108/480, soit 0,225. En pourcentage, cela s'exprime par 22,5%.
B. Pourcentage d’un nombre
Le pourcentage d'un nombre est obtenu en multipliant ce nombre par un pourcentage donné. Par exemple, parmi les 480 élèves de seconde, 15% ont choisi l'option grec ou latin. Le calcul est le suivant : 15% de 480 = (15/100) x 480 = 72 élèves.
C. Proportions échelonnées
Lorsque deux ensembles sont imbriqués, on peut calculer la proportion d'une sous-population dans l'ensemble total en multipliant par la proportion de chaque sous-ensemble. Par exemple, si 40% des passagers d'un car sont des scolaires, dont 60% sont des filles, alors la proportion de filles parmi les passagers est de 0,6 x 0,4 = 0,24, soit 24%.
II. Variations d’une quantité
A. Variation absolue
La variation absolue d'une quantité est la différence entre sa valeur finale et sa valeur initiale. Par exemple, si un stock passe de 100 à 150 articles, la variation absolue est de 150 - 100 = 50 articles.
B. Variation relative
La variation relative, ou taux d'évolution, est le rapport de la variation absolue à la valeur initiale. Si le taux est positif, il y a une augmentation ; s'il est négatif, il y a une diminution. Pour notre stock d'articles, qui est passé de 100 à 150, le taux d'évolution est de (150 - 100) / 100 = 0,5, soit une augmentation de 50%.
III. Évolution exprimée en pourcentage
A. Calculer une évolution
Pour exprimer une évolution en pourcentage, on utilise des coefficients multiplicateurs. Augmenter une valeur de t% revient à la multiplier par (1 + t/100), tandis que la diminuer revient à la multiplier par (1 - t/100).
B. Calculer un taux d'évolution
Le taux d'évolution se calcule en divisant la variation absolue par la valeur initiale, puis en multipliant par 100 pour obtenir le pourcentage. Par exemple, passer de 200 à 250 représente une augmentation de (250 - 200)/200 = 0,25, soit 25%.
C. Évolutions successives
Les évolutions successives de pourcentages ne se compensent pas nécessairement. Par exemple, une hausse de 10% suivie d'une baisse de 10% ne ramène pas à la valeur initiale, mais entraîne une légère diminution. Le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution donne le coefficient multiplicateur global.
D. Évolution réciproque
L'évolution réciproque est le processus inverse de l'évolution directe. Si une valeur passe de V0 à V1 par une augmentation, la diminution nécessaire pour revenir à V0 emploie un coefficient multiplicateur inverse. La formule du coefficient multiplicateur réciproque est 100/(100 + t).
A retenir :
Les pourcentages permettent de quantifier et comparer des proportions au sein de populations ou de différents ensembles chiffrés. Ils sont utilisés pour exprimer des variations sous forme de taux d'évolution, facilitant ainsi la compréhension et l'interprétation des dynamiques de changements dans divers contextes mathématiques et statistiques. Les évolutions successives, loin de se compenser systématiquement, nécessitent une attention particulière sur les coefficients multiplicateurs. Enfin, la notion d'évolution réciproque souligne l'intérêt de comprendre l'effet inverse d'une variation initiale.
