Définition
Nombre relatif
Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe, c'est-à-dire qui peut être positif, négatif ou nul. Les nombres relatifs incluent tous les nombres entiers, ainsi que leurs opposés par rapport à zéro.
Valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre relatif est la distance de ce nombre à zéro sur une droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle, et notée |x| pour un nombre x.
Opposé
L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui, additionné à ce dernier, donne zéro. Si x est un nombre relatif, son opposé est noté -x.
Représentation des nombres relatifs
Sur une droite numérique, chaque nombre relatif est associé à un point particulier. Les nombres positifs sont placés à droite de zéro, tandis que les nombres négatifs sont à gauche. Cette disposition est essentielle pour comprendre les opérations avec des nombres relatifs.
Opérations sur les nombres relatifs
Addition et soustraction des nombres relatifs
L'addition de nombres relatifs tient compte de leurs signes. Lorsque deux nombres ont le même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on conserve leur signe commun. Lorsque leurs signes sont différents, on soustrait la valeur absolue du plus petit du plus grand et on conserve le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.
La soustraction de nombres relatifs peut être transformée en addition en prenant l'opposé du nombre à soustraire. Ainsi, soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Multiplication et division des nombres relatifs
La règle de multiplication des nombres relatifs est basée sur le produit des signes. Le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes différents est négatif. Pour la division, la même règle s'applique : le quotient de deux nombres de même signe est positif, et celui de deux nombres de signes différents est négatif.
Propriété des nombres relatifs
Les nombres relatifs sont assortis de diverses propriétés, telles que la propriété commutative de l'addition et de la multiplication, qui indique que l'ordre dans lequel deux nombres sont additionnés ou multipliés ne change pas le résultat. La propriété associative s'applique également, permettant de regrouper des opérations sans modifier le résultat. Enfin, la propriété distributive lie l'addition et la multiplication, indiquant que a(b + c) = ab + ac.
A retenir :
Les nombres relatifs forment une base essentielle des mathématiques grâce à leur capacité à représenter des quantités positives et négatives. Comprendre leur représentation sur la droite numérique et maîtriser les opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication, et la division est crucial pour résoudre des problèmes mathématiques variés. Les propriétés des nombres relatifs, comme les propriétés commutative, associative et distributive, offrent un cadre de référence qui facilite le travail avec ces nombres dans différents contextes mathématiques.
