Les nombres complexes peuvent être représentés sur un plan appelé le plan complexe. Sur ce plan, l’axe horizontal représente la partie réelle et l’axe vertical représente la partie imaginaire. Par exemple, le nombre complexe z = 3 + 4i se place à l’intersection de la ligne horizontale à 3 et la ligne verticale à 4.
Définition
Définition d'un nombre complexe
Un nombre complexe est une expression de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire telle que i² = -1.
Partie réelle et partie imaginaire
Dans un nombre complexe z = a + bi, a est la partie réelle notée Re(z), et b est la partie imaginaire notée Im(z).
Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi est noté z̅ et il est égal à a - bi.
Module d'un nombre complexe
Le module d'un nombre complexe z = a + bi est noté |z| et est égal à √(a² + b²).
🔢 Représentation des Nombres Complexes
➕ Opérations sur les Nombres Complexes
Addition : Pour additionner deux nombres complexes z₁ = a + bi et z₂ = c + di, on additionne séparément les parties réelles et les parties imaginaires : z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i.
Multiplication : Pour multiplier deux nombres complexes z₁ = a + bi et z₂ = c + di, on utilise la formule : z₁ × z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i.
📉 Module et Conjugué
Le module d'un nombre complexe z = a + bi est calculé comme la distance entre le point (a, b) et l'origine (0, 0) du plan complexe, soit |z| = √(a² + b²). Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi est z̅ = a - bi, et il est symétrique par rapport à l'axe réel sur le plan.
🔄 Importance des Nombres Complexes
Les nombres complexes sont essentiels car ils offrent une extension des nombres réels permettant de résoudre des équations qui n’ont pas de solutions réelles. Par exemple, l'équation x² + 1 = 0 n’a pas de solution parmi les réels mais admet deux solutions complexes : i et -i.
A retenir :
- Les nombres complexes s'écrivent sous la forme a + bi.
- La partie réelle est a, la partie imaginaire est b.
- Conjugué : z̅ = a - bi.
- Module : |z| = √(a² + b²).
- Ils se représentent sur le plan complexe.
