Définition
Matrice
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisé en lignes et colonnes.
Ordre d'une Matrice
L'ordre d'une matrice fait référence au nombre de lignes et de colonnes qu'elle contient. On note une matrice de m lignes et n colonnes par 'm × n'.
Élément d'une Matrice
Un élément d'une matrice est un nombre situé à l'intersection d'une ligne et d'une colonne donné par a_ij où i est le numéro de la ligne et j est celui de la colonne.
Opérations sur les Matrices
Les matrices permettent d'effectuer plusieurs opérations arithmétiques ressemblant aux opérations numériques. Voici les opérations de base:
Addition et Soustraction des Matrices
L'addition (ou la soustraction) de deux matrices est possible si et seulement si elles sont de la même dimension. Le résultat est une matrice obtenue en additionnant (ou en soustrayant) les éléments correspondants. Formellement, si A = (a_ij) et B = (b_ij) sont des matrices de même dimension, alors leur somme C = A + B est donnée par C = (c_ij) où c_ij = a_ij + b_ij.
Multiplication des Matrices
La multiplication de matrices est plus complexe. Une matrice A de dimension m×n ne peut être multipliée avec une matrice B de dimension n×p que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Le produit matriciel AB est une nouvelle matrice C de dimension m×p où chaque élément c_ij est obtenu par la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de A et des éléments de la j-ème colonne de B.
Propriétés des Matrices
Identité et Matrice Inverse
La matrice identité est une matrice carrée où tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et les autres éléments sont égaux à 0. La matrice inverse de A est une matrice B telle que AB = BA = I, où I est la matrice identité. L'inversion est possible uniquement pour les matrices carrées et sous certaines conditions.
Matrice Transposée
La transposition d'une matrice implique la conversion de ses lignes en colonnes et vice-versa. Pour une matrice A, notée A^T, l'élément (i, j) devient (j, i). La matrice transposée conserve le même ordre mais intervertit ses dimensions.
L'Application des Matrices
Utilisation en Résolution de Système Linéaire
Les matrices sont souvent utilisées pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. En utilisant des techniques telles que la méthode de Gauss ou l'approche matricielle (via la matrice inverse), les systèmes peuvent être résolus efficacement.
Application en Géométrie
En géométrie, elles servent dans les transformations linéaires qui incluent la rotation, la translation, la réflexion et la dilatation.
A retenir :
Les matrices sont des structures mathématiques puissantes, utilisées pour organiser et manipuler les données numériquement et analytiquement. Elles permettent une variété d'opérations arithmétiques, ont des propriétés uniques comme l'identité et l'inverse, et sont fondamentales dans des applications variées telles que la résolution de systèmes linéaires et les transformations géométriques.
