Définitions
Définition
Intervalle
Un intervalle est un ensemble de nombres réels qui contient tous les nombres entre deux bornes données.
Borne supérieure
La borne supérieure d'un intervalle est le plus grand nombre de cet intervalle.
Borne inférieure
La borne inférieure d'un intervalle est le plus petit nombre de cet intervalle.
Types d'intervalles
Les intervalles peuvent être classifiés en plusieurs types en fonction de leurs bornes : fermées, ouvertes ou semi-ouvertes. Les principaux types d'intervalles sont :
Intervalles fermés
Un intervalle est dit fermé lorsque ses deux bornes sont incluses dans l'intervalle. Par exemple, l'intervalle [a, b] signifie que tous les nombres x tels que a ≤ x ≤ b appartiennent à l'ensemble.
Intervalles ouverts
Un intervalle est dit ouvert lorsqu'aucune de ses bornes n'est incluse dans l'intervalle. Par exemple, l'intervalle (a, b) signifie que tous les nombres x tels que a < x < b font partie de l'ensemble, mais pas les bornes a et b.
Intervalles semi-ouverts
Un intervalle est dit semi-ouvert (ou semi-fermé) lorsque l'une de ses bornes est incluse alors que l'autre ne l'est pas. Par exemple, [a, b) signifie a ≤ x < b et (a, b] signifie a < x ≤ b.
Utilisation des intervalles
Dans la pratique, les intervalles sont utilisés pour représenter des ensembles de valeurs dans des contextes tels que les solutions d'inégalités, les plages de valeurs pour les fonctions, et les domaines de définition. Ils sont également essentiels en analyse mathématique, notamment dans la définition de la continuité et pour les notions de limites.
Propriétés des intervalles
Les intervalles possèdent plusieurs propriétés utiles :
- Connexion: Un intervalle est toujours un ensemble connexe, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de "trous" parmi ses éléments.
- Inclusion: Si un intervalle A est inclus dans un intervalle B, alors toutes les valeurs de A sont contenues dans B.
- Intersection: L'intersection de deux intervalles est toujours un autre intervalle ou un ensemble vide.
A retenir :
En récapitulatif, les intervalles sont des ensembles continus de nombres réels définis par des bornes inférieures et supérieures. Ils peuvent être ouverts, fermés ou semi-ouverts en fonction de l'inclusion des bornes. Les intervalles sont largement utilisés pour décrire des ensembles numériques en relation avec des fonctions et des inégalités. Leur compréhension est essentielle pour l'analyse mathématique et ils possèdent des propriétés fondamentales telles que la connexion et l'inclusion.