Les intervalles peuvent être notés de plusieurs manières selon le type de borne qu'ils possèdent. Un intervalle ouvert, comme ]a, b[, ne comporte pas les valeurs a et b, tandis qu'un intervalle fermé, noté [a, b], les inclut.
Définition
Intervalle
Un intervalle est une partie de la droite des nombres réels qui contient tous les nombres entre deux bornes données.
Borne
Les bornes d'un intervalle sont les valeurs extrêmes qui délimitent cet intervalle.
Intervalle ouvert
Un intervalle est dit ouvert lorsqu'il ne contient pas ses bornes. Il est noté ]a, b[.
Intervalle fermé
Un intervalle est dit fermé lorsqu'il contient ses bornes. Il est noté [a, b].
Bornes infinies
Lorsque les bornes d'un intervalle sont infinies, on parle d'intervalles infinis, notés ]a, +∞[ ou ]-∞, a[.
Notations et Représentations
Types d'Intervalles
Intervalle Ouvert
Un intervalle ouvert ]a, b[ contient tous les nombres réels x tels que a < x < b. Aucun des points a et b n'appartient à cet intervalle.
Intervalle Fermé
Un intervalle fermé [a, b] inclut toutes les valeurs réelles x pour lesquelles a ≤ x ≤ b. Les valeurs a et b font partie de l'intervalle.
Intervalles Infinis
Les intervalles peuvent être étendus à l'infini, ce qui signifie qu'ils n'ont pas de bornes supérieures ou inférieures finies. Par exemple, l'intervalle ]-∞, a[ inclut tous les nombres inférieurs à a.
Applications des Intervalles
Les intervalles sont couramment utilisés pour exprimer des solutions de certaines inéquations ou pour définir des domaines de fonctions. Ils servent aussi dans la représentation de limites de séquences et de séries, ainsi que dans des problèmes d'optimisation.
A retenir :
Les intervalles mathématiques sont des ensembles de nombres réels compris entre deux bornes définies, qui peuvent être incluses ou exclues de l'ensemble. Ils peuvent être ouverts, fermés, ou semi-ouverts, selon leurs bornes. Les intervalles ont de nombreuses applications en mathématiques, notamment dans l'analyse des fonctions et la résolution d'inéquations.
