Définition
Inéquation
Une inéquation est une expression mathématique qui établit une relation d'inégalité entre deux expressions algébriques. Elle est caractérisée par des symboles tels que <, >, ≤, ou ≥.
Inéquation du premier degré à une inconnue
Il s'agit d'une inéquation où la variable est de degré un, c'est-à-dire qu'elle n'est pas élevée à une puissance autre que un.
Effet de l’addition et de la multiplication sur l’ordre
Lorsque l'on ajoute ou soustrait un même nombre à chaque membre d'une inéquation, l'ordre ne change pas. Par exemple, si a < b, alors a + c < b + c. Cependant, si on multiplie ou divise chaque membre d'une inéquation par un nombre positif, l'ordre reste le même. En revanche, si on multiplie ou divise chaque membre par un nombre négatif, l'ordre s'inverse. Ainsi, si a < b et c < 0, alors ac > bc.
La notion d’inéquation
Les inéquations sont utilisées pour exprimer qu'une expression est supérieure, inférieure ou égale à un autre. Résoudre une inéquation signifie trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'inégalité donnée. Cela implique souvent de manipuler et transformer l'inéquation de manière similaire à la résolution d'équations, tout en respectant les règles spécifiques aux inéquations telles que l'inversion de l'ordre lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.
Représentation graphique de l’ensemble des solutions d’une inéquation
Graphiquement, les solutions d'une inéquation à une inconnue se représentent sur une droite numérique. Par exemple, pour x > 2, la solution est l'ensemble des points situés à droite de 2 sur la droite des réels. Pour indiquer que 2 n'est pas inclus dans la solution, un cercle ouvert est dessiné à 2. Pour x ≥ 2, le cercle est rempli pour montrer que 2 est inclus. Ces représentations aident à visualiser rapidement les ensembles de solutions possibles.
Les transformations d'une inéquation pour la résolution
La résolution d'une inéquation implique de transformer l'inéquation jusqu'à ce que l'inconnue soit isolée d'un côté de l'inéquation. Les transformations incluent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division par des nombres, en veillant à inverser le signe de l'inéquation lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif. Chaque transformation doit préserver l'ensemble des solutions possibles de l'inéquation.
A retenir :
Les inéquations du premier degré à une inconnue permettent de déterminer les valeurs pour lesquelles une expression est plus grande, plus petite ou égale à une autre. Lors de la résolution, il est essentiel de manipuler correctement les inéquations tout en préservant l'ordre, en particulier lors de la multiplication ou division par des nombres négatifs. Graphiquement, la solution est représentée sur une droite numérique, facilitant ainsi la visualisation des solutions possibles. Les transformations appliquées doivent toujours conduire à l'isolement de l'inconnue tout en respectant les règles des inégalités.
