Définition
Fraction algébrique
Une fraction algébrique est une expression de la forme \( \frac{A}{B} \) où \( A \) et \( B \) sont des expressions algébriques. \( B \) ne doit pas être égal à zéro.
Expression algébrique
Une expression algébrique est une combinaison de nombres, variables et opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division, etc.).
Propriétés des fractions algébriques
Équivalence de fractions algébriques
Deux fractions algébriques \( \frac{A}{B} \) et \( \frac{C}{D} \) sont équivalentes si et seulement si \( AD = BC \). Cela signifie que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
Simplification
Pour simplifier une fraction algébrique, il faut trouver un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur et le réduire. Après la simplification, il est essentiel de vérifier que le dénominateur simplifié n'est pas égal à zéro.
Opérations sur les fractions algébriques
Addition et Soustraction
Pour additionner ou soustraire des fractions algébriques, il est nécessaire de les mettre au même dénominateur. Le dénominateur commun est souvent le produit des dénominateurs individuels.
Multiplication
Multiplier deux fractions algébriques revient à multiplier les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. \( \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \). Simplifiez le résultat si possible.
Division
Diviser par une fraction algébrique, c'est multiplier par l'inverse de cette fraction. \( \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} \). Cette opération nécessite également une simplification si possible.
Résolution d'équations impliquant des fractions algébriques
Lorsqu'une équation implique des fractions algébriques, il est souvent utile d'éliminer les fractions en multipliant chaque terme de l'équation par le dénominateur commun. Cela permet de simplifier l'équation et de résoudre pour la variable. Il faut faire attention aux restrictions introduites par les dénominateurs pour éviter des solutions non valides.
A retenir :
Les fractions algébriques sont essentielles pour représenter et manipuler des situations impliquant des expressions algébriques complexes. Comprendre comment travailler avec elles, notamment au travers de la simplification et de l'exécution d'opérations arithmétiques, permet de résoudre de nombreuses problématiques mathématiques. Spécialement, leur manipulation est nécessaire pour l'étude plus avancée des fonctions rationnelles et des systèmes d'équations.
