Définitions
Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble appelé domaine un élément d'un autre ensemble appelé codomaine.
Domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble de tous les points pour lesquels la fonction est définie.
Image
L'image d'un élément x par une fonction f est l'élément f(x) dans le codomaine.
Fonctions linéaires et affines
Les fonctions linéaires sont des fonctions du type f(x) = mx où m est une constante. Elles représentent des droites passant par l'origine du plan cartésien. Les fonctions affines généralisent cette notion avec f(x) = mx + c où c est une constante qui détermine le point d'intersection avec l'axe des ordonnées. Ces fonctions sont essentielles pour comprendre les relations proportionnelles et les changements linéaires.
Fonctions quadratiques
Les fonctions quadratiques prennent la forme générale f(x) = ax^2 + bx + c. Elles représentent des paraboles dans un plan cartésien. Le coefficient a détermine l'ouverture et l'orientation de la parabole, tandis que b et c influencent la position et la forme de la parabole. Ces fonctions apparaissent dans de nombreux contextes, notamment en physique et en économie.
Fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles sont définies par f(x) = a^x où a est une base positive différente de 1. Ces fonctions sont connues pour leur croissance très rapide et sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes de croissance et décroissance naturelle, tels que la croissance démographique ou la radioactivité.
Fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques comme le sinus, le cosinus et la tangente, sont des fonctions périodiques qui jouent un rôle clé dans l'étude des phénomènes ondulatoires et circulaires. Elles sont définies sur les nombres réels et sont très utilisées dans les problèmes d'angles, de triangle, ainsi que dans l'analyse de signaux.
Fonctions composées et fonctions inverses
Composer deux fonctions consiste à appliquer l'une à l'image de l'autre. Si f et g sont deux fonctions, la fonction composée f∘g est définie par (f∘g)(x) = f(g(x)). Une fonction f a une fonction inverse (notée f^-1) si f∘f^-1(x) = x pour tous les x dans le domaine de f^-1. Les fonctions inverses récupèrent l'information d'une transformation donnée par la fonction initiale.
A retenir :
Les fonctions en mathématiques sont des outils fondamentaux pour décrire des relations et des transformations entre ensembles. De la linéarité aux propriétés exponentielles, chaque type de fonction offre une manière unique de modéliser et d'analyser le monde. Comprendre les fonctions est essentiel pour aborder des domaines variés tels que l'algèbre, l'analyse ou la modélisation des phénomènes naturels.
