Définition
Fonction
Une fonction est une relation entre un ensemble d'entrée (domaine) et un ensemble de sortie (codomaine) où chaque entrée est liée à exactement une sortie.
Domaine d'une fonction
Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs possibles d'entrée pour lesquelles la fonction est définie.
Image
L'image d'une fonction est l'ensemble des valeurs de sortie atteintes par la fonction lorsque l'entrée varie dans le domaine.
Fonction injective
Une fonction est injective si elle associe des éléments distincts de son domaine à des éléments distincts de son codomaine.
Fonction surjective
Une fonction est surjective si chaque élément de son codomaine est l'image d'au moins un élément de son domaine.
Fonction bijective
Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire une correspondance un-à-un entre son domaine et son codomaine.
Types de Fonctions
Les fonctions peuvent être classées en différents types en fonction de leurs propriétés. Les types les plus courants sont les fonctions injectives, surjectives et bijectives, déjà définies précédemment. Cela signifie qu'une fonction peut remplir aucune, l'une ou les deux de ces propriétés, affectant comment les valeurs du domaine se mappent sur celles du codomaine.
Représentation des Fonctions
Les fonctions peuvent être représentées de plusieurs façons, notamment à l'aide de graphiques, d'équations, de tableaux de valeurs ou même de diagrammes visuels pour les petites ensembles. La méthode choisie dépend souvent du contexte du problème et de l'information qui doit être transmise.
Un graphique est l'une des manières les plus visuelles de représenter une fonction. Sur un graphique bidimensionnel, chaque point (x, y) correspond à une paire d'entrée-sortie de la fonction. Cette représentation est particulièrement utile pour comprendre le comportement global de la fonction, comme la croissance, la décroissance, et les asymptotes éventuelles.
Les équations sont une autre manière commune et mathématiquement précise de représenter des fonctions. Par exemple, une fonction quadratique peut être donnée par f(x) = ax^2 + bx + c, où a, b, et c sont des constantes qui définissent spécifiquement cette fonction.
Opérations sur les Fonctions
Il existe plusieurs opérations que l'on peut effectuer sur les fonctions, notamment l'addition, la soustraction, la multiplication, et la division. Une autre opération importante est la composition de fonctions (notée souvent (f∘g)(x)). Cette opération consiste à prendre une fonction g(x) et à l'utiliser comme argument pour une autre fonction f, c'est-à-dire f(g(x)). La composition de fonctions est utilisée pour effectuer des transformations en étapes, où chaque fonction représente une étape de transformation.
Fonctions Inverses
Une fonction inverse est une fonction qui annule l'effet d'une autre fonction. Formulée mathématiquement, si f est une fonction et f⁻¹ est son inverse, alors f(f⁻¹(x)) = x et f⁻¹(f(x)) = x pour chaque x dans le domaine pertinent. Pour qu'une fonction ait une fonction inverse, elle doit être bijective. Autrement dit, chaque élément du codomaine doit être atteint par exactement un élément du domaine.
A retenir :
Les fonctions sont des objets mathématiques fondamentaux qui établissent une correspondance entre des entrées et des sorties. Elles se caractérisent par leur domaine et leur image, et peuvent être classées en fonctions injectives, surjectives et bijectives selon la manière dont elles mappent le domaine sur le codomaine. Les fonctions peuvent être représentées par des graphiques, des équations ou d'autres formats visuels. Les opérations sur les fonctions incluent des transformations arithmétiques et la composition de fonctions, et certaines fonctions possèdent des inverses, ce qui nécessite qu'elles soient bijectives.
