Définitions
Définition
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels, et a est différent de zéro.
Coefficient directeur
Le coefficient a dans une fonction affine f(x) = ax + b représente le coefficient directeur, qui détermine la pente ou l'inclinaison de la droite.
Ordonnée à l'origine
Le terme b dans une fonction affine f(x) = ax + b est l'ordonnée à l'origine, le point où la droite coupe l'axe y.
Expression et Graphique d'une Fonction Affine
La forme générale d'une fonction affine est f(x) = ax + b. Cette expression indique que la fonction affine est une droite dans le plan cartésien. Le coefficient a est la pente de la droite, tandis que b est le point où la droite croise l'axe y.
Quand on représente graphiquement une fonction affine, la droite est continue et infinie des deux côtés. La pente a détermine l'inclinaison de la droite. Si a est positif, la droite monte lorsque l'on se déplace de la gauche vers la droite, et si a est négatif, la droite descend.
Le point de rencontre de la droite avec l'axe des ordonnées est donné par b, appelé l'ordonnée à l'origine. Ce point a pour coordonnée (0, b).
Interprétation du Coefficient Directeur
Le coefficient directeur a influence la direction et la pente de la droite représentée par la fonction affine.
1. Si a > 0, la pente est positive, et la droite monte vers la droite. Cela signifie que la valeur de f(x) augmente avec x.
2. Si a < 0, la pente est négative, et la droite descend vers la droite. Cela indique que la valeur de f(x) diminue à mesure que x augmente.
3. Si a = 0, la fonction est constante, et la droite est horizontale. Dans ce cas, f(x) est égal à b pour toute valeur de x, ce qui n'est généralement pas le cas dans une fonction affine, sauf si a est nul par erreur d'écriture.
Calcul d'une Fonction Affine à partir de Deux Points
Pour déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points (x1, y1) et (x2, y2) donnés sur un graphique, nous devons suivre les étapes suivantes :
1. Calculer le coefficient directeur a : a = (y2 - y1) / (x2 - x1).
2. Utiliser l'une des deux équations des points pour trouver b : y = ax + b. Par exemple, utiliser le point (x1, y1) pour obtenir b = y1 - ax1.
Maintenant, en remplaçant les valeurs de a et b dans f(x) = ax + b, nous obtenons l'équation de la fonction affine passant par ces deux points.
Applications des Fonctions Affines
Les fonctions affines sont omniprésentes dans les applications pratiques en mathématiques et dans le monde réel :
1. Dans les sciences économiques, les lignes d'offre et de demande sont souvent modélisées comme des fonctions affines.
2. En physique, la relation entre des variables proportionnelles directes, telles que la distance et le temps à vitesse constante, peuvent être représentées par une fonction affine.
3. Les fonctions affines sont également utilisées dans les calculs financiers, par exemple pour déterminer l'amortissement linéaire des actifs.
Elles offrent une forme simple mais puissante pour modéliser et analyser des relations linéaires entre quantités.
A retenir :
Pour résumer, une fonction affine s'exprime sous la forme f(x) = ax + b, avec a déterminant la pente et b l'ordonnée à l'origine. La représentation graphique de cette fonction est une ligne droite dont l'orientation dépend du signe de a. La compréhension de la fonction affine et de ses caractéristiques, comme le calcul à partir de deux points, est essentielle en mathématiques et dans diverses applications du quotidien.
