Définitions Initiales
Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui, à chaque élément d'un ensemble de départ, associe un unique élément d'un ensemble d'arrivée.
Fonction de référence
Les fonctions de référence sont des fonctions mathématiques qui servent de modèle pour l'étude d'autres fonctions. Elles ont des expressions algébriques simples et des graphiques faciles à reconnaître.
Fonction Affine
La fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes. Sur un graphique, elle est représentée par une droite. La pente de cette droite est déterminée par la valeur de 'a', tandis que 'b' représente l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
Fonction Carré
La fonction carré est définie par f(x) = x². Son graphe est une parabole qui est symétrique par rapport à l'axe vertical (l'axe des ordonnées). La fonction carré est une fonction croissante sur l'intervalle [0, +∞) et décroissante sur l'intervalle (-∞, 0]. Elle est importante car elle sert de base pour comprendre d'autres fonctions quadratiques.
Fonction Inverse
La fonction inverse est donnée par f(x) = 1/x, pour x ≠ 0. Son graphe est constitué de deux branches hyperboliques situées dans les premier et troisième quadrants. Cette fonction est intéressante à analyser au regard de son comportement asymptotique, alors qu'elle tend vers l'infini lorsque x approche zéro. Elle est décroissante sur l'ensemble des réels positifs ainsi que sur l'ensemble des réels négatifs.
Fonction Racine Carrée
La fonction racine carrée est définie par f(x) = √x pour x ≥ 0. Le graphe de cette fonction est une demi-parabole qui augmente lentement et est uniquement définie pour des valeurs positives ou nulles de x. Elle est une fonction croissante sur son intervalle de définition et est souvent utilisée dans des contextes où l'on souhaite inverser le processus de mise au carré.
Fonction Cube
La fonction cube est définie par f(x) = x³. Son graphe a la forme d'une courbe symétrique par rapport à l'origine. Elle est bijective et définit un ordre sur les réels, car elle est croissante sur tout ℝ. Le cube est généralement utilisé en algèbre pour explorer des comportements symétriques, ainsi que pour les transformations et les mises à l'échelle.
A retenir :
Les fonctions de référence sont fondamentales pour comprendre les mathématiques au lycée. Chaque fonction étudiée, qu'elle soit affine, carré, inverse, racine carrée ou cube, possède des propriétés uniques qui influencent leur comportement graphique et leurs applications. Ces fonctions aident non seulement à comprendre les concepts algébriques mais aussi à explorer des relations mathématiques plus complexes à travers leurs formes et leurs comportements tout en fournissant des outils pratiques pour résoudre des problèmes réels.
