Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble, un unique élément d'un autre ensemble. Par exemple, une fonction f qui associe à chaque nombre réel x son carré, est exprimée par f(x) = x².
Dérivée d'une fonction
La dérivée d'une fonction en un point est une mesure de la variation instantanée de la fonction, c'est-à-dire comment la fonction change lorsque la variable change. Elle est notée généralement par f'(x) ou dy/dx.
Continuité
Une fonction est dite continue en un point lorsqu'elle n'a pas de rupture en ce point, autrement dit, la limite de la fonction lorsque x tend vers ce point est égale à la valeur de la fonction à ce point.
Notion de Dérivée
La dérivée d'une fonction f en un point x0, notée f'(x0), correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse x0. Pour calculer cette dérivée, on utilise la formule suivante:
\( f'(x_0) = \lim_\{h \to 0\} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)
Cette formule, dite limite du rapport des accroissements finis, permet de calculer la dérivée en tout point où la fonction est différentiable.
Calcul de Dérivées de Fonctions Usuelles
Il existe des règles spécifiques pour calculer la dérivée de certaines fonctions courantes :
- Pour une constante k, la dérivée est nulle : (k)' = 0.
- Pour une fonction puissance : (xⁿ)' = n * x^(n-1).
- Pour la fonction exponentielle : (e^x)' = e^x.
- Pour les fonctions trigonométriques :
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
Application de la Dérivée : Problèmes d'Optimisation
La dérivée est un outil puissant pour résoudre des problèmes d'optimisation. Par exemple, pour déterminer les extrema d'une fonction (maxima et minima), on cherche les points où sa dérivée s'annule. Pour une fonction f, ces points x sont solutions de l'équation f'(x) = 0.
Une fois ces points critiques trouvés, il est possible d'appliquer d'autres tests (comme le test de signe de la dérivée ou l'étude de la dérivée seconde) pour confirmer si ces points sont bien des maxima ou minima locaux.
Théorème de Rolle et Théorème des Valeurs Moyennes
Ces théorèmes sont des outils fondamentaux en analyse réelle, liés à la dérivée. Le théorème de Rolle stipule que si une fonction f est continue sur le segment [a, b], différentiable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, et que f(a) = f(b), alors il existe un point c dans ]a, b[ tel que f'(c) = 0.
Le théorème des valeurs moyennes étend cette idée: si f est continue sur [a, b] et différentiable sur ]a, b[, alors il existe un point c dans ]a, b[ tel que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
A retenir :
Les dérivées permettent de mesurer la variation instantanée d'une fonction. Elles sont essentielles pour comprendre le comportement des fonctions via la notion de pente de la tangente. À travers des règles de calcul précises, elles offrent aussi un moyen d'optimisation et de résolution de divers problèmes mathématiques. Les théorèmes de Rolle et des valeurs moyennes sont des concepts clés indiquant l'existence de tangentes horizontales et moyennes, assurant un ancrage rigoureux aux raisonnements en analyse mathématique.
