Partielo | Le théorème de Pythagore

Définition

Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui comporte un angle droit, soit un angle de 90 degrés.

Hypoténuse

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle. C'est le côté le plus long du triangle.

Côtés adjacents

Les côtés adjacents sont les deux côtés qui forment l'angle droit dans un triangle rectangle.

Énoncé du Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale dans un triangle rectangle. Il affirme que la somme des carrés des longueurs des deux côtés adjacents à l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse. Formellement, pour un triangle rectangle ABC, avec l’angle droit en C, l’hypoténuse étant le côté [AB], et les côtés adjacents étant [AC] et [BC], on a : c² = a² + b², où c représente la longueur de l'hypoténuse, et a et b, les longueurs des côtés adjacents.

Applications du Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est largement utilisé dans diverses applications pratiques et théoriques. Parmi elles : 1. Calcul de distances : Dans un plan cartésien, le théorème de Pythagore permet de calculer la distance entre deux points en utilisant leurs coordonnées. 2. Construction et architecture : Le théorème est utilisé pour déterminer des mesures précises dans la conception de structures, garantissant des angles droits parfaits. 3. Navigation et robotique : Il est employé pour calculer des trajectoires et des mouvements basés sur des itinéraires rectilignes.

Démonstration du Théorème de Pythagore

Il existe de nombreuses démonstrations du théorème de Pythagore, certaines étant géométriques, d'autres algébriques. Une démonstration géométrique classique consiste à construire deux carrés de côtés a + b autour du triangle rectangle à l’angle droit, puis à montrer que la somme des aires des deux carrés formés par les côtés adjacents est égale à l'aire du carré formé par l'hypoténuse.

Exercices

1 - Un jardin triangulaire a la forme d'un triangle rectangle. Les côtés perpendiculaires mesurent respectivement 9 mètres et 12 mètres.

Calcule la longueur de l’hypoténuse.
Arrondis le résultat au dixième près.

2 - Un escalier est adossé à un mur vertical. Le pied de l’escalier est placé à 2,5 mètres du mur, et le haut de l’escalier atteint une hauteur de 6 mètres.

Quelle est la longueur de l’escalier ?
Arrondis le résultat au centimètre près.

3 - On te donne un triangle dont les côtés mesurent 7 cm, 24 cm et 25 cm.

Vérifie si ce triangle est rectangle en appliquant le théorème de Pythagore.
Explique ton raisonnement.

A retenir :

Rappel sur le Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Formule :

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

=a2

+b2

où cc

c est l’hypoténuse (le plus grand côté).

✅ Utilisation : pour calculer une longueur ou vérifier si un triangle est rectangle.

Variantes

Il existe plusieurs extensions du théorème de Pythagore : 1. Théorème de Pythagore généralisé : S'applique aux triangles quelconques mais implique le recours à la loi des cosinus. 2. Triangle sphérique : Sur une sphère, la relation entre les longueurs des côtés d'un triangle sphérique diffère, mais on utilise des formes dérivées du théorème de Pythagore. 3. Projections vectorielles : Dans l'espace vectoriel, les composants perpendiculaires respectent une forme modifiée de ce théorème.