Définition
Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90 degrés.
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et est le plus long des trois côtés du triangle.
Les côtés adjacents
Dans un triangle rectangle, les côtés adjacents à l'angle droit sont appelés les côtés de l'angle droit ou tout simplement les catètes.
Enoncé du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore concerne uniquement les triangles rectangles. Il stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si on note c la longueur de l'hypoténuse, a et b les longueurs des deux autres côtés, le théorème s'énonce par la formule : c² = a² + b².
Preuve du théorème de Pythagore
Il existe de nombreuses preuves du théorème de Pythagore, dont plusieurs sont géométriques. Une des preuves classiques consiste à utiliser la construction de carrés sur chaque côté du triangle rectangle et à démontrer par découpage et réarrangement que le carré de l'hypoténuse est équivalent à la somme des carrés des deux autres côtés.
Applications du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore est utilisé pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsque l'on connaît les longueurs des deux autres côtés. Il est largement utilisé dans diverses branches des mathématiques et des sciences appliquées, notamment pour résoudre des problèmes d'architecture, d'ingénierie et en physique, où les relations de perpendicularité sont courantes.
Exercices pratiques
Pour bien comprendre le théorème de Pythagore, il est essentiel de s'exercer à résoudre différents types de problèmes. Voici un exercice typique :
"Dans un triangle rectangle, les longueurs des côtés adjacents à l'angle droit sont de 3 cm et 4 cm. Trouvez la longueur de l'hypoténuse."
Pour résoudre cet exercice, on utilise le théorème de Pythagore : c² = a² + b². En remplaçant a et b par les valeurs connues, on obtient c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Par conséquent, c = √25, donc l'hypoténuse mesure 5 cm.
A retenir :
Le théorème de Pythagore est un pilier fondamental des mathématiques, essentiel pour résoudre des problèmes impliquant des triangles rectangles. Comprendre et savoir appliquer ce théorème vous aidera à déterminer les longueurs des côtés dans divers contextes en mathématiques appliquées. Maîtrisez le mieux en pratiquant régulièrement divers exercices, pour consolider votre connaissance et votre habilité à l'utiliser.
