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Le Théorème de la droite du milieu

Le Théorème de la droite du milieu

Le théorème de la droite du milieu est un concept fondamental en géométrie analytique. Il énonce qu'une droite passant par le milieu d'un segment est parallèle à la droite reliant les extrémités du segment.

Définition

Définition
Soit un segment de droite AB. Si M est le milieu de ce segment, alors toute droite passant par M est parallèle à la droite (AB).
Ce théorème est également appelé "Théorème de Thalès" ou "Théorème de Milieu". Il a été formulé par le mathématicien grec Thalès de Milet, qui vivait au VIe siècle avant Jésus-Christ.
Le Théorème de la droite du milieu est souvent utilisé pour résoudre des problèmes de géométrie où l'on connaît les coordonnées des points A et B et que l'on souhaite trouver l'équation de la droite passant par le milieu. Il permet également de démontrer d'autres propriétés géométriques, telles que la réciproque du théorème.

Définition

Preuve du théorème
La preuve du théorème de la droite du milieu est assez simple. On considère un segment de droite AB et son milieu M. Soit P un point quelconque de la droite passant par M. Montrons que les droites (AB) et (MP) sont parallèles.
On peut utiliser les propriétés des triangles isocèles pour démontrer cette parallélisme. En effet, les triangles AMP et BMP sont isocèles, car les côtés AM et BM sont égaux et les angles en M sont droits. Par conséquent, les angles AMP et BMP sont également égaux.
Or, si deux droites sont parallèles, les angles correspondants ou alternes-internes sont égaux. Donc, les angles PMA et PMB sont égaux. Mais les angles AMP et BMP sont également égaux. Donc, les angles PMA et PAM sont égaux. Cela signifie que les droites (AB) et (MP) sont parallèles, d'après le Théorème des angles correspondants. Le Théorème de la droite du milieu est donc démontré.

A retenir :

En résumé, le Théorème de la droite du milieu affirme qu'une droite passant par le milieu d'un segment est parallèle à la droite reliant les extrémités du segment. Ce théorème est utilisé en géométrie analytique pour démontrer des propriétés géométriques et résoudre des problèmes mathématiques. Il a été formulé par Thalès de Milet, un mathématicien grec du VIe siècle avant J.-C.

Le Théorème de la droite du milieu

Le Théorème de la droite du milieu

Le théorème de la droite du milieu est un concept fondamental en géométrie analytique. Il énonce qu'une droite passant par le milieu d'un segment est parallèle à la droite reliant les extrémités du segment.

Définition

Définition
Soit un segment de droite AB. Si M est le milieu de ce segment, alors toute droite passant par M est parallèle à la droite (AB).
Ce théorème est également appelé "Théorème de Thalès" ou "Théorème de Milieu". Il a été formulé par le mathématicien grec Thalès de Milet, qui vivait au VIe siècle avant Jésus-Christ.
Le Théorème de la droite du milieu est souvent utilisé pour résoudre des problèmes de géométrie où l'on connaît les coordonnées des points A et B et que l'on souhaite trouver l'équation de la droite passant par le milieu. Il permet également de démontrer d'autres propriétés géométriques, telles que la réciproque du théorème.

Définition

Preuve du théorème
La preuve du théorème de la droite du milieu est assez simple. On considère un segment de droite AB et son milieu M. Soit P un point quelconque de la droite passant par M. Montrons que les droites (AB) et (MP) sont parallèles.
On peut utiliser les propriétés des triangles isocèles pour démontrer cette parallélisme. En effet, les triangles AMP et BMP sont isocèles, car les côtés AM et BM sont égaux et les angles en M sont droits. Par conséquent, les angles AMP et BMP sont également égaux.
Or, si deux droites sont parallèles, les angles correspondants ou alternes-internes sont égaux. Donc, les angles PMA et PMB sont égaux. Mais les angles AMP et BMP sont également égaux. Donc, les angles PMA et PAM sont égaux. Cela signifie que les droites (AB) et (MP) sont parallèles, d'après le Théorème des angles correspondants. Le Théorème de la droite du milieu est donc démontré.

A retenir :

En résumé, le Théorème de la droite du milieu affirme qu'une droite passant par le milieu d'un segment est parallèle à la droite reliant les extrémités du segment. Ce théorème est utilisé en géométrie analytique pour démontrer des propriétés géométriques et résoudre des problèmes mathématiques. Il a été formulé par Thalès de Milet, un mathématicien grec du VIe siècle avant J.-C.
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