Définition
Polynôme de second degré
Un polynôme de second degré est une fonction polynomiale qui s'écrit sous la forme ax^2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.
Discriminant
Le discriminant d'un polynôme de second degré (noté Δ) est donné par Δ = b^2 - 4ac. Il permet de déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation ax^2 + bx + c = 0.
Racine
Une racine d'un polynôme est une valeur de x qui annule le polynôme, c'est-à-dire qui satisfait l'équation ax^2 + bx + c = 0.
Sommet de la parabole
Le sommet d'une parabole représentée par la fonction ax^2 + bx + c est le point de coordonnées S(h, k), où h = -b/(2a) et k est la valeur de la fonction en h.
Équations du second degré
Les équations du second degré sont des équations de la forme ax^2 + bx + c = 0. La résolution de ces équations dépend du discriminant Δ = b^2 - 4ac.
1. Si Δ > 0, l'équation possède deux solutions réelles distinctes x1 et x2, données par la formule quadratique : x1 = (-b + √Δ) / (2a) et x2 = (-b - √Δ) / (2a).
2. Si Δ = 0, l'équation a une solution réelle double x0 donnée par x0 = -b / (2a).
3. Si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées.
Inéquations du second degré
Les inéquations du second degré sont des inégalités de la forme ax^2 + bx + c > 0 ou ax^2 + bx + c < 0. Pour les résoudre, on commence souvent par résoudre l'équation associée ax^2 + bx + c = 0 pour obtenir les éventuelles valeurs seuil
1. Si Δ > 0, l'inéquation peut être résolue en considérant l'intervalle dans lequel l'expression ax^2 + bx + c est positive ou négative, en se basant sur les solutions x1 et x2.
2. Si Δ = 0, l'inéquation dépend du signe de a, vu que le polynôme n'a qu'une racine.
3. Si Δ < 0, le signe de l'inéquation dépend uniquement du coefficient a du terme x^2, car le polynôme ne s'annule pour aucune valeur réelle de x.
Fonctions polynômes de second degré
Une fonction polynôme de second degré est une fonction de la forme f(x) = ax^2 + bx + c. Sa courbe représentative est une parabole.
1. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (ouverte vers le haut), et si a < 0, elle est tournée vers le bas (ouverte vers le bas).
2. Le sommet de la parabole, noté S, donne le point d'extremum (minimum si a > 0 et maximum si a < 0). Les coordonnées du sommet sont données par S(-b/2a, f(-b/2a)).
3. La parabole possède un axe de symétrie vertical, dont l'équation est x = -b/(2a). Ce trait permet de diviser la parabole en deux parties égales.
A retenir :
Les polynômes de second degré jouent un rôle fondamental dans l'étude des fonctions quadratiques, des équations et des inéquations. À l'aide du discriminant, on peut déterminer le nombre de solutions et leurs natures. En visualisant la fonction sous forme de parabole, on comprend mieux ses propriétés telles que le sens de variation et les coordonnées du sommet. La résolution des inéquations repose également sur ces concepts clés, renforçant ainsi l'importance d'une bonne compréhension des polynômes de second degré en mathématiques.
