Partielo | Le binôme de Newton

Introduction

Le binôme de Newton est une formule mathématique qui permet de développer rapidement une puissance de binôme, c'est-à-dire une expression du type (a + b)n, où "a" et "b" sont des nombres réels ou complexes, et "n" est un entier positif. Cette formule, découverte par le mathématicien Isaac Newton, est très utile en algèbre, en combinatoire, et trouve des applications dans divers domaines scientifiques.

Formule du binôme de Newton

La formule du binôme de Newton est la suivante :

(a + b)ⁿ = Σⁿ_k=0[C(n,k) * a^(n-k) * b^k]

où :

(n choose k) est le coefficient binomial, noté C(n, k) ou "n parmi k", et représente le nombre de façons de choisir k éléments parmi un ensemble de n éléments.
a^(n-k) représente a élevé à la puissance (n-k).
b^k représente b élevé à la puissance k.

Coefficient binomial

A retenir :

Le coefficient binomial C(n, k) est calculé selon la formule suivante :

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

où "n!" représente la factorielle de n, c'est-à-dire le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n. Par convention, on pose 0! = 1.

Exemples

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Propriétés et utilisation du binôme de Newton

Propriétés importantes :

a) Symétrie : C(n, k) = C(n, n-k)

b) Somme des coefficients binomiaux d'une ligne du triangle de Pascal : 2^n

c) Relation de récurrence : C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

Utilisations :

a) Développement rapide d'une puissance de binôme.

b) Approximations de nombres réels à l'aide de troncatures finies de séries du binôme.

c) Probabilités et combinaisons en statistiques et en probabilité.

d) Applications en combinatoire, notamment dans le triangle de Pascal.

Utilisation du triangle de Pascal

Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un triangle infini de nombres où chaque nombre est la somme des deux nombres situés directement au-dessus de lui. Le coefficient binomial C(n, k) est représenté par le nombre situé à l'intersection de la ligne n et de la colonne k du triangle de Pascal. Exemple : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . . .

Ainsi, les coefficients binomiaux C(n, k) sont représentés par les nombres de la ligne n du triangle. Cette méthode facilite le calcul des coefficients binomiaux sans recourir aux factorielles et est largement utilisée pour développer des puissances de binômes à l'aide de la formule du binôme de Newton.