Définition
Loi binomiale
La loi binomiale est un modèle de probabilité utilisé pour décrire le nombre de succès dans une séquence d'essais indépendants identiquement distribués, chacun ayant exactement deux issues possibles (succès ou échec) et une probabilité constante de succès.
Loi de Bernoulli
Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité pour une variable aléatoire discrète qui ne prend que deux valeurs : habituellement 0 et 1. Un essai de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant exactement deux résultats possibles, souvent appelés 'succès' et 'échec', avec une probabilité fixe de succès p.
Expérience de Bernoulli
Une expérience aléatoire qui n'a que deux résultats possibles, généralement notés succès (1) et échec (0), avec une probabilité de succès de p et une probabilité d'échec de 1-p.
La Loi Binomiale et ses Propriétés
La loi binomiale est principalement utilisée lorsque nous avons plusieurs répétitions d'une expérience de Bernoulli. Supposons que nous répétions n fois une expérience de Bernoulli avec une probabilité de succès p; alors, le nombre total de succès X suit une distribution binomiale notée B(n, p).
Caractéristiques de la Loi Binomiale
Les principales caractéristiques de la loi binomiale incluent :
- Espérance : E(X) = np, où n est le nombre d'essais et p la probabilité de succès.
- Variance : V(X) = np(1-p), mesurant la dispersion des succès autour de l'espérance.
- Formule de probabilité : P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), où C(n, k) est le coefficient binomial représentant le nombre de façons de choisir k succès parmi n tentatives.
Applications de la Loi Binomiale
La loi binomiale est largement utilisée dans divers domaines comme la biologie, la finance et les sciences sociales. Par exemple, elle sert à modéliser le nombre de patients guéris après un traitement médical, à prévoir la probabilité de succès d'une campagne publicitaire, ou à analyser les probabilités dans le cadre d'études statistiques.
Lien entre Loi de Bernoulli et Loi Binomiale
La loi de Bernoulli est la base de la loi binomiale. Tandis que la première concerne un seul essai de Bernoulli, la loi binomiale traite de plusieurs essais indépendants. Chaque essai de Bernoulli est un composant d'une expérience binomiale plus large, où le résultat de chaque essai contribue au nombre total de succès.
A retenir :
En résumé, la loi binomiale est un modèle statistique qui émerge de la répétition d'expériences de Bernoulli. Elle est définie par ses paramètres n et p, qui influencent l'espérance et la variance de la distribution. Sa formule de probabilité permet de calculer la probabilité de différents résultats possibles en fonction du nombre total d'essais et de la probabilité de succès à chaque essai.
