Définitions fondamentales
Définition
Divisibilité
La divisibilité concerne la capacité d'un nombre à être divisé par un autre sans laisser de reste.
Diviseur
Un diviseur de n est un entier qui divise n sans laisser de reste.
Multiple
Un multiple de n est le produit de n par un entier.
Propriétés de la divisibilité
Propriétés de base
1. Si un nombre a divise un nombre b, alors il divise aussi tout multiple de b.
2. La divisibilité est une relation réflexive, c'est-à-dire qu'un nombre divise toujours lui-même.
3. La divisibilité est une relation transitive : si a divise b et b divise c, alors a divise c.
Critères de divisibilité
Les critères de divisibilité sont des tests qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division. Par exemple :
- Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair.
- Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Applications de la divisibilité
Dans le calcul des facteurs
La divisibilité est centrale pour déterminer les facteurs d’un nombre, c'est-à-dire les nombres qui se multiplient pour donner un produit donné. Elle est notamment utilisée dans la recherche des plus grands communs diviseurs et des plus petits communs multiples.
Utilisations en arithmétique
La divisibilité est une notion essentielle en arithmétique, notamment pour la simplification de fractions, le calcul de mesures communes et la résolution d’équations diohpantiennes où l'on cherche des solutions entières.
Résumé des notions importantes
A retenir :
La divisibilité est un concept clé en mathématiques qui porte sur la capacité d'un entier à être divisé par un autre sans reste. Elle repose sur des propriétés fondamentales comme la réflexivité et la transitivité, et utilise des critères pratiques pour faciliter sa vérification. Les applications de la divisibilité se retrouvent dans des domaines variés tels que le calcul des facteurs, la simplification de fractions et diverses opérations arithmétiques.
