Définition
Distributivité
La distributivité est une propriété algébrique qui relie les opérations de multiplication et d'addition. Elle permet de simplifier des expressions mathématiques.
Double distributivité
La double distributivité est l'application successive de la distributivité dans le cas des produits de deux binômes, permettant ainsi de distribuer chaque terme d'un binôme avec chaque terme d'un autre binôme.
La distributivité simple
La propriété de distributivité simple permet de multiplier un nombre par une somme de deux autres nombres. Cela s'écrit : a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Cette formule indique que le produit d'un nombre et d'une somme est égal à la somme des produits individuels.
Prenons un exemple avec des chiffres concrets : pour calculer 3 * (4 + 5), on peut appliquer la distributivité en effectuant 3 * 4 + 3 * 5. Cela donne respectivement 12 + 15 = 27, ce qui est le même résultat que de calculer directement 3 * 9.
Distributivité dans le cadre algébrique
En algèbre, la distributivité est essentielle pour simplifier les expressions et résoudre les équations. Elle permet le développement de produits d'expressions sous forme factorisée et la simplification des polynômes.
Par exemple, dans l'expression 2x * (x + 4), la distributivité s'applique pour donner 2x² + 8x. Ce procédé est utile dans la mise en forme d'expressions polynomiales complexes et est la base du développement de nombreuses opérations algébriques.
La double distributivité
La double distributivité est appliquée lorsque deux binômes sont multipliés. Elle repose sur l'application à la fois des lois de la distributivité et des propriétés des produits. En termes mathématiques, (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.
Prenons un exemple concret : (x + 3) * (x + 5). En appliquant la double distributivité, nous avons : x * x + x * 5 + 3 * x + 3 * 5 = x² + 5x + 3x + 15. Ceci peut alors être simplifié en x² + 8x + 15.
Application de la double distributivité
La double distributivité est particulièrement utilisée pour simplifier des expressions algébriques complexes et dans des développements algébriques comme le calcul du carré des binômes ou le développement de trinômes.
En voici un exemple courant : (x + 1)², qui est égal à (x + 1) * (x + 1). En appliquant la double distributivité, on obtient x² + x + x + 1, ce qui se simplifie en x² + 2x + 1.
A retenir :
La distributivité et la double distributivité sont des principes fondamentaux en mathématiques qui facilitent la manipulation et la simplification des expressions et équations. La distributivité permet d'étendre un seul terme sur une somme, tandis que la double distributivité élargit cette méthode à deux binômes, permettant ainsi de simplifier et développer des expressions complexes efficacement.
