Avant de pouvoir dériver des fonctions complexes, il est essentiel de connaître la dérivée de certaines fonctions de base. Par exemple, pour la fonction f(x) = x^n, la dérivée est f'(x) = nx^(n - 1), où n est un nombre réel. Pour la fonction exponentielle f(x) = e^x, la dérivée reste inchangée, donc f'(x) = e^x. Ces règles de dérivation sont fondamentales et servent de point de départ pour des dérivations plus compliquées. Tel que f'(a) = lim (h->0) [f(a+h) - f(a)] / h
Définition
Dérivation
La dérivation est un outil mathématique utilisé pour analyser le changement d'une fonction. Elle permet de déterminer les variations d'une fonction à partir de sa courbe ou de son équation.
Fonction dérivée
La fonction dérivée d'une fonction f est une nouvelle fonction qui associe à chaque point x la limite du taux de variation de f entre deux points très proches, lorsque l'écart entre ces deux points tend vers zéro.
Tangente
La tangente à une courbe en un point est une droite qui touche la courbe en ce point et qui a la même direction que la courbe à cet endroit.
Taux d'accroissement
Le "taux d'accroissement" désigne la mesure de la variation d'une quantité par rapport au temps ou à une autre variable. En mathématiques, il est souvent utilisé pour décrire la dérivée d'une fonction, c'est-à-dire la vitesse à laquelle une fonction change à un point donné.
La dérivation des fonctions usuelles
Règles de dérivation
Dériver une fonction ne se limite pas à connaître les dérivées des fonctions de base. Il existe des règles qui facilitent la dérivation des fonctions plus complexes. La règle de dérivation d'une somme stipule que la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions: (u + v)' = u' + v'. Par ailleurs, la règle du produit indique que pour deux fonctions u et v, la dérivée de leur produit est donnée par (uv)' = u'v + uv'. Enfin, la règle du quotient stipule que pour deux fonctions u et v, (u/v)' = (u'v - uv') / (v)^2, à condition que v ≠ 0.
Applications des fonctions dérivées
Une des applications les plus importantes de la dérivation est la détermination des points critiques d'une fonction. Un point critique est un point où la dérivée d'une fonction est soit nulle, soit indéfinie. Ces points sont essentiels pour analyser le comportement de f, par exemple pour identifier les maxima et minima locaux ou globaux d'une fonction. Une autre application est l'étude de la concavité et de la convexité des fonctions, qui sont déterminées par le signe de la dérivée seconde.
La tangente et la fonction dérivée
La tangente joue un rôle clé dans l'interprétation géométrique de la dérivée. Pour toute courbe représentée par une fonction f au point x=a, la tangente est la droite qui a pour pente f'(a) et coupe la courbe à ce point. Cela signifie que l'équation de la tangente à la courbe au point (a, f(a)) est y = f'(a)(x - a) + f(a). Visualiser la tangente aide à comprendre comment la fonction croît ou décroît autour du point d'intérêt.
