Définition
Distance
La distance entre deux points est une mesure de la longueur du segment qui les relie.
Norme
Une norme est une fonction qui attribue une longueur ou une taille à des vecteurs dans un espace vectoriel.
Inégalité triangulaire
L'inégalité triangulaire stipule que pour tout triangle, la somme des longueurs de deux côtés est toujours plus grande ou égale à la longueur du troisième côté.
Concept fondamental de l'inégalité triangulaire
L'inégalité triangulaire est un concept fondamental en géométrie qui a des implications étendues dans divers domaines des mathématiques. Si l'on considère un triangle avec des côtés de longueurs a, b, et c, l'inégalité triangulaire stipule que a + b ≥ c, a + c ≥ b, et b + c ≥ a. Cela signifie qu'il est impossible de former un triangle si la somme de deux de ses côtés est inférieure à la longueur du côté restant.
Dans le contexte de la géométrie euclidienne, l'inégalité triangulaire assure que la distance directe entre deux points est toujours inférieure ou égale à toute autre distance possible passant par un troisième point. Ce concept peut être visualisé en considérant le fait que le chemin le plus court entre deux points est une ligne droite.
Applications de l'inégalité triangulaire
L'inégalité triangulaire a des applications notables dans divers domaines, notamment en analyse mathématique et en algèbre linéaire, sous la forme d'inégalité de la norme. En analyse, elle est utilisée pour démontrer la convergence de suites et la continuité des fonctions. En algèbre linéaire, la définition d'une norme sur un espace vectoriel repose en partie sur l'inégalité triangulaire.
En physique et en informatique, l'inégalité triangulaire est également cruciale dans les domaines qui traitent des distances, tels que la théorie des graphes, où elle aide à établir une limite inférieure pour le chemin minimal entre les nœuds dans certaines conditions.
Preuve de l'inégalité triangulaire en utilisant la norme euclidienne
Considérons deux vecteurs u et v dans un espace vectoriel euclidien. La norme euclidienne de ces vecteurs est donnée par ||u|| et ||v||. L'inégalité triangulaire prend alors la forme ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||. Pour prouver ceci, utilisons la décomposition suivant le carré des normes : ||u + v||^2 = (u + v) · (u + v) = ||u||^2 + 2(u · v) + ||v||^2. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, u · v ≤ ||u|| * ||v||. Donc, ||u + v||^2 ≤ ||u||^2 + 2||u|| * ||v|| + ||v||^2 = (||u|| + ||v||)^2. Prendre la racine carrée des deux côtés donne ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||.
A retenir :
L'inégalité triangulaire est un principe géométrique central affirmant qu'à l'intérieur d'un triangle, la somme des longueurs de deux côtés est toujours supérieure ou égale à celle du troisième côté. C'est un concept essentiel dans divers domaines, notamment en analyse et en algèbre linéaire, sous forme d'inégalités normatives. Utilisé pour valider des résultats liés à la distance et à la convergence, ce principe montre que le chemin le plus direct entre deux points reste une ligne droite et sert de cadre pour diverses preuves mathématiques.
