Définition
Point
En géométrie, un point est défini comme une position précise dans l'espace. Il n'a pas de dimension ; ni longueur, ni largeur, ni hauteur.
Droite
Une droite en géométrie est une ligne infinie avec une seule dimension qui s'étend dans deux directions opposées sans fin.
Plan
Un plan est une surface plate infinie qui s'étend dans deux dimensions et qui contient une infinité de points et de droites.
Coordonnées des Points dans l'Espace
Pour se représenter un point dans l'espace, on utilise un système de coordonnées orthonormé, généralement noté (O, i, j, k), où O est l'origine et i, j, k sont les vecteurs unités des axes x, y et z respectivement. Un point P a pour coordonnées (x, y, z).
Exemple : Considérons le point A(2, 3, 5). Cela signifie qu'il est positionné à 2 unités sur l'axe des x, 3 unités sur l'axe des y, et 5 unités sur l'axe des z.
Vecteurs dans l'Espace
Les vecteurs en géométrie de l'espace sont des entités qui possèdent à la fois une direction et une magnitude (longueur). Ils sont souvent notés \( \vec{v} = (a, b, c) \), représentant le déplacement dans la direction des axes x, y, z.
Exemple : Le vecteur \( \vec{AB} \) reliant les points A(1, 2, 3) et B(4, 6, 8) a pour composants \( (4-1, 6-2, 8-3) = (3, 4, 5) \).
Equations de Droites et de Plans
Équation Paramétrique d'une Droite
L'équation paramétrique d'une droite passant par un point A(x₀, y₀, z₀) et dirigée par un vecteur \( \vec{d} = (a, b, c) \) est donnée par : \( x = x₀ + at \), \( y = y₀ + bt \), \( z = z₀ + ct \) où t est un paramètre réel.
Exemple : Soit la droite passant par A(1, 2, 3) et dirigée par le vecteur (4, -1, 2), l'équation paramétrique s'écrit : \( x = 1 + 4t \), \( y = 2 - t \), \( z = 3 + 2t \).
Equation Cartésienne d'un Plan
L'équation cartésienne d'un plan est donnée par la formule : \( ax + by + cz + d = 0 \), où (a, b, c) est le vecteur normal au plan.
Exemple : Si un plan a pour vecteur normal \( (2, -3, 1) \) et passe par le point (1, 1, 1), son équation est : \( 2(x - 1) - 3(y - 1) + 1(z - 1) = 0 \), soit \( 2x - 3y + z = 0 \).
Calculs de Distances et d'Angles
Distance entre Deux Points
La distance entre deux points A(x₁, y₁, z₁) et B(x₂, y₂, z₂) est calculée avec la formule de la distance euclidienne : \( \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2 + (z₂ - z₁)^2} \).
Exemple : Pour les points A(1, 2, 3) et B(4, 6, 8), la distance est \( \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{50} \).
Angle entre Deux Vecteurs
L'angle θ entre deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) est calculé en utilisant le produit scalaire : \( \cos(θ) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| ||\vec{v}||} \), où \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) est le produit scalaire, et \( ||\vec{u}|| \), \( ||\vec{v}|| \) sont les normes des vecteurs.
Exemple : Pour \( \vec{u} = (1, 2, 3) \) et \( \vec{v} = (4, -5, 6) \), le cosinus de l'angle est \( \frac{1*4 + 2*(-5) + 3*6}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} \).
A retenir :
La géométrie dans l'espace explore des concepts tridimensionnels tels que les points, les droites et les plans. Elle utilise un système de coordonnées pour situer des points, et des vecteurs pour représenter des directions et des magnitudes. Le calcul des distances utilise la formule euclidienne, tandis que l'étude des angles s'appuie sur le produit scalaire. Les formules pour les équations de droites et de plans permettent de déterminer leur position et orientation dans l'espace.
