Définition
Point
Un point est une position précise dans l'espace, sans dimension ni longueur.
Droite
Une droite est une ligne infinie composée de points alignés dans l'espace ou dans le plan, définie par deux points.
Plan
Un plan est une surface bidimensionnelle infinie définie par au moins trois points non alignés.
Coordonnées géométriques
Coordonnées dans l'espace
Dans un espace tridimensionnel, chaque point est défini par trois coordonnées : x, y et z. Ces coordonnées représentent respectivement la distance du point par rapport à l'origine selon l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, et l'axe des profondeurs.
Vecteurs
Définition et représentation
Un vecteur dans l'espace est une quantité définie par sa direction, son sens et sa norme (longueur). Il est souvent noté sous la forme AB, où A et B sont des points. Les coordonnées d'un vecteur AB dans un repère orthonormé sont obtenues en calculant les différences entre les coordonnées de B et de A : v = (xb - xa, yb - ya, zb - za).
Opérations sur les vecteurs
Les vecteurs peuvent être additionnés ou multipliés par des scalaires. L'addition de vecteurs se fait en additionnant les coordonnées correspondantes : si v = (vx, vy, vz) et w = (wx, wy, wz), alors v + w = (vx + wx, vy + wy, vz + wz). La multiplication d'un vecteur par un scalaire k se fait en multipliant chacune de ses coordonnées par k : kv = (kvx, kvy, kvz).
Produits scalaires et vectoriels
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs u = (ux, uy, uz) et v = (vx, vy, vz) est défini par u · v = uxvx + uyvy + uzvz. Ce produit scalaire est un nombre qui représente la projection de l'un des vecteurs sur l'autre et dépend de l'angle entre les deux vecteurs.
Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est un vecteur perpendiculaire aux deux servant à calculer des aires ou des moments. Il est défini par les coordonnées suivantes : u × v = (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx).
Géométrie des plans
Équations de plan
Un plan dans l'espace peut être défini par une équation cartésienne sous la forme ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c) est un vecteur normal au plan. Les coefficients a, b et c déterminent l'orientation du plan, tandis que d ajuste sa position par rapport à l'origine.
Intersecter droites et plans
Pour déterminer l'intersection d'une droite avec un plan, on substitue les paramètres de la droite dans l'équation du plan. Si le résultat est une égalité vraie, la droite est contenue dans le plan. Si l'égalité comporte des valeurs inconnues, l'intersection est un point.
A retenir :
La géométrie dans l'espace porte sur la compréhension et la manipulation de figures en trois dimensions. Les concepts de base incluent les points, les droites, les plans, les vecteurs, et les opérations sur ces entités, notamment les produits scalaires et vectoriels. Les plans peuvent être modélisés par des équations cartésiennes, et leurs intersections avec d'autres formes géométriques telles que des droites peuvent être déterminées à l'aide de calculs algébriques. Maîtriser ces notions est essentiel pour aborder efficacement les problèmes de géométrie spatiale.
