Formule loi de proba (écart type, variance, espérance mathématique)
La loi de probabilité est un concept fondamental en statistiques et en probabilités. Elle permet de décrire la répartition des résultats d'une variable aléatoire, c'est-à-dire les différentes valeurs que cette variable peut prendre et la probabilité associée à chaque valeur. Dans ce cours, nous allons aborder les formules principales liées à la loi de probabilité, notamment l'écart type, la variance et l'espérance mathématique.
L'écart type
L'écart type est une mesure de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de sa moyenne. Il est calculé en prenant la racine carrée de la variance. La formule de l'écart type est la suivante :
Définition
Formule de l'écart type
σ = √(∑(xi - μ)² / n)
où :
Définition
σ
est l'écart type de la variable aléatoire
∑
indique la sommation, c'est-à-dire que l'on fait la somme des termes
xi
représente chaque valeur prise par la variable aléatoire
μ
est la moyenne de la variable aléatoire
n
est le nombre total de valeurs de la variable aléatoire
L'écart type est une mesure importante puisqu'il permet d'estimer la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus l'écart type est grand, plus les valeurs sont dispersées. À l'inverse, un écart type faible indique que les valeurs tendent à être proches de la moyenne.
La variance
La variance est une autre mesure de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire. Elle est calculée en prenant la moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur et la moyenne. La formule de la variance est la suivante :
Définition
Formule de la variance
Var(X) = ∑(xi - μ)² / n
où :
Définition
Var(X)
est la variance de la variable aléatoire
∑
indique la sommation, c'est-à-dire que l'on fait la somme des termes
xi
représente chaque valeur prise par la variable aléatoire
μ
est la moyenne de la variable aléatoire
n
est le nombre total de valeurs de la variable aléatoire
La variance est également une mesure de la dispersion des valeurs, mais contrairement à l'écart type, elle n'est pas exprimée dans la même unité que la variable aléatoire.
L'espérance mathématique
L'espérance mathématique est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire. Elle est souvent représentée par la lettre E(X) ou μ. L'espérance mathématique est calculée en faisant la somme des produits des valeurs possibles de la variable aléatoire avec leur probabilité respective. La formule de l'espérance mathématique est la suivante :
Définition
Formule de l'espérance mathématique
E(X) = ∑(xi * Pi)
où :
Définition
E(X)
est l'espérance mathématique de la variable aléatoire
∑
indique la sommation, c'est-à-dire que l'on fait la somme des termes
xi
représente chaque valeur prise par la variable aléatoire
Pi
est la probabilité associée à chaque valeur de la variable aléatoire
L'espérance mathématique est un concept essentiel en probabilités, car elle permet de prédire la valeur moyenne d'une variable aléatoire en prenant en compte les probabilités de chaque valeur. Elle peut être interprétée comme une valeur « attendue » ou moyenne de la variable aléatoire.
A retenir :
En résumé, la loi de probabilité permet de décrire la répartition des résultats d'une variable aléatoire. L'écart type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne, la variance est une autre mesure de dispersion et l'espérance mathématique est une mesure de la valeur moyenne. Ces concepts sont importants pour comprendre et analyser les données statistiques et probabilités.
