Définitions de base
Définition
Dérivée d'une fonction
La dérivée d'une fonction f en un point a, notée f'(a), est la limite du taux de variation de f lorsque l'écart tend vers 0. Formellement, f'(a) = lim(h->0) [(f(a+h) - f(a))/h].
Continuité
Une fonction est continue en un point a si lim(x->a) f(x) = f(a). La continuité est nécessaire pour qu'une fonction soit dérivable.
Les formules de dérivées usuelles
Les formules de dérivées permettent d'obtenir rapidement la dérivée de fonctions courantes sans avoir à passer par le calcul de la définition limite. Voici quelques formules de base :
1. Dérivée de la fonction constante : Si f(x) = c (une constante), alors f'(x) = 0.
2. Dérivée de la fonction identité : Si f(x) = x, alors f'(x) = 1.
3. Dérivée de f(x) = x^n (puissance) : Si n est un réel, alors f'(x) = nx^(n-1).
4. Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques : Pour f(x) = e^x, f'(x) = e^x. Pour f(x) = ln(x), f'(x) = 1/x, pour x > 0.
5. Dérivée des fonctions trigonométriques : Pour f(x) = sin(x), f'(x) = cos(x) et pour f(x) = cos(x), f'(x) = -sin(x).
Opérations sur les dérivées
Les opérations de dérivation permettent de combiner ou de manipuler des fonctions de manière à obtenir la dérivée finale d'une fonction plus complexe. Voici les principales règles :
1. Somme de fonctions : Si f(x) = u(x) + v(x), alors f'(x) = u'(x) + v'(x).
2. Produit de deux fonctions : Si f(x) = u(x)v(x), alors f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
3. Quotient de deux fonctions : Si f(x) = u(x)/v(x), alors f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2, à condition que v(x) ≠ 0.
4. Fonction composée : La dérivée de la composition de fonctions est le produit des dérivées : (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x).
Techniques avancées de dérivation
Pour dériver des fonctions plus complexes, il est souvent nécessaire d'appliquer plusieurs règles successivement. Parfois, il peut être nécessaire d'effectuer une réécriture algébrique pour simplifier l'expression avant de la dériver.
Il est important de répéter que des fonctions complexes peuvent nécessiter la combinaison de plusieurs règles de dérivation, en particulier la règle des fonctions composées et la règle du produit.
A retenir :
Les dérivées permettent d'analyser la variation des fonctions. Plusieurs règles permettent d'obtenir la dérivée d'une fonction rapidement, notamment celles liées à des fonctions de base comme x^n, e^x, sin(x), etc. La combinaison de ces règles avec les règles opérationnelles, telles que la somme, le produit, le quotient et la composition de fonctions, permet de traiter les fonctions complexes. Il est essentiel de comprendre ces mécanismes car ils sont fondamentaux pour résoudre des problèmes en mathématiques et dans divers champs scientifiques.
