Définition
Fonction dérivée
La fonction dérivée d'une fonction f est une fonction qui à chaque valeur de x associe la dérivée de f en x. Elle est souvent notée f'(x) ou df(x)/dx.
Dérivée
La dérivée d’une fonction en un point est la pente de la tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.
Taux de variation
C'est la mesure du changement de la valeur d'une fonction en réponse à un changement dans son entrée. C'est souvent utilisé pour calculer la dérivée d'une fonction.
Calcul de la dérivée
Dérivées des fonctions usuelles
Les dérivées des fonctions usuelles sont des formules standards utilisées pour calculer la dérivée de fonctions courantes. Par exemple, la dérivée de f(x) = x^n est f'(x) = n*x^(n-1), où n est un réel.
Règles de dérivation
Somme et différence
La dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions est égale à la somme ou la différence de leurs dérivées respectives. Formellement, si u(x) et v(x) sont deux fonctions, alors (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) et (u-v)'(x) = u'(x) - v'(x).
Produit
La dérivée de la produit de deux fonctions u(x) et v(x) est donnée par la règle du produit : (uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Quotient
La dérivée du quotient de deux fonctions u(x) et v(x), où v(x) ≠ 0, est donnée par : (u/v)'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))².
Application des dérivées
Tangente à une courbe
La dérivée permet de déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point. Si f(x) est dérivable en x = a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x-a) + f(a).
Monotonie
La dérivée d'une fonction permet de déterminer ses intervalles de croissance et décroissance. Si f'(x) > 0 pour tout x dans un intervalle donné, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f'(x) < 0, alors f est décroissante.
A retenir :
La fonction dérivée est un outil mathématique essentiel permettant d'analyser le comportement d'une fonction. Elle représente la pente de la tangente et aide à déterminer les taux de variation. Les règles de dérivation permettent de calculer les dérivées de fonctions complexes en les décomposant en sommes, produits, et quotients de fonctions plus simples.
