En mathématiques, une fonction est un concept essentiel qui lie un élément d'un ensemble à un élément d'un autre ensemble. Le premier ensemble est communément appelé domaine de la fonction, tandis que le second ensemble est le codomaine. Une fonction énonce une relation précise et unique entre les éléments de ces ensembles, c'est-à-dire que chaque élément du domaine est associé à un et un seul élément du codomaine. Cette unicité assure que la fonction est bien définie et opérationnelle.

Comprendre le domaine de définition et l'image d'une fonction est primordial. Le domaine de définition est l'ensemble de tous les entrants (ou variables indépendantes) pour lesquels la fonction est calculable. Plus formellement, il est constitué des réels x qui permettent à l'expression f(x) d'exister dans les réels. En contraste, l'image est l'ensemble possible des valeurs de sortie (ou variables dépendantes) que la fonction peut produire.

Pour qu'une fonction soit qualifiée de particulière, elle peut satisfaire certaines propriétés spéciales comme l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité. L'injectivité est la propriété selon laquelle deux éléments distincts du domaine ne peuvent pas avoir la même image dans le codomaine. Autrement dit, si f(a) = f(b), alors nécessairement a = b, ce qui rend impossible pour deux éléments différents d'avoir le même résultat. La surjectivité, en revanche, garantit que chaque élément du codomaine est atteint par l'application de la fonction sur au moins un élément du domaine. Enfin, une fonction est bijective lorsqu'elle est à la fois injective et surjective, créant ainsi une correspondance exacte entre le domaine et le codomaine, à savoir que chaque élément du codomaine est l'image d'un unique élément du domaine.

Les représentations graphiques de fonctions permettent une visualisation directe des transformations effectuées par ces fonctions. Couramment, ces représentations se précisent dans un système de coordonnées cartésiennes, où l'axe horizontal (absisse) représente le domaine tandis que l'axe vertical (ordonnée) symbolise le codomaine. Les graphes espèrent illustrer comment la fonction mappe chacun des éléments de son domaine à ceux de son codomaine, et révèlent des propriétés telles que la continuité, les asymptotes et les intersections avec les axes.

Les fonctions ne sont pas limitées à un cadre mathématique théorique ; elles jouent un rôle capital dans une plage étendue de domaines appliqués. En physique, par exemple, la relation entre le temps et la position d'un objet est souvent décrite par une fonction. En économie, on modélise la relation entre prix et quantité demandée grâce à une fonction de demande. Ces relations fonctionnelles permettent de créer des modèles prévisionnels et analytiques pour comprendre, anticiper et influencer l'évolution de systèmes complexes.