Définition: Fonction Holomorphe
f : U⊂ℂ → ℂ est holomorphe si elle est dérivable au sens de la variable complexe en tout point de U.
Théorème: Fonction exponentielle
soit z et w ϵ ℂ
- exp(z) = 𝚺nϵℕ (zn/n!)
- exp(z) = 1 ssi z = 2ik𝛑 avec 𝛑 = ꭍℝ1/1+t2dt et kϵℤ
- exp(z+w)=exp(z).exp(w)
- |exp(z)| = exp(Re(z))
Définition: Sinus et cosinus
z ϵ ℂ
cos (z) = [exp(iz) + exp(-iz)]/2 et sin(z) = [exp(iz)-exp(-iz)]/2i
Théorème: Equations de Cauchy-Riemann
soit f : U⊂ℂ → ℂ identifiée à f : U ⊂ ℝ2 → ℂ (x,y) ↦ P(x,y) + iQ(x,y). Avec (x,y) ϵ ℝ² et P et Q sont des polynômes.
f est holomorphe sur U ssi 𝜕P/𝜕x = 𝜕Q/𝜕y et 𝜕P/𝜕y = -𝜕Q/𝜕x
Théorème: Holomorphie des fonctions analytiques
si f : U⊂ℂ → ℂ est une fonction analytique, alors elle est holomorphe. f' est analytique sur U.
A retenir :
à savoir: an- bn=(b-a)(an-1+an-2b+...+abn-2+bn-1)
