- ln(1) = 0 : Le logarithme népérien de 1 est toujours égal à 0.
- ln(e) = 1 : Le logarithme népérien de e est égal à 1, car e est la base du logarithme naturel.
- ln(xy) = ln(x) + ln(y) : Le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme de leurs logarithmes.
- ln(x/y) = ln(x) - ln(y) : Le logarithme du quotient de deux nombres est égal à la différence de leurs logarithmes.
- ln(x^a) = a * ln(x) : Le logarithme d'une puissance est égal au produit de l'exposant par le logarithme de la base.
Définition
Logarithme népérien
Le logarithme népérien, noté ln(x), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle e^x. Il est défini pour tout x > 0.
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée e^x, est une fonction mathématique de base ayant la forme f(x) = e^x, où e est la base du logarithme naturel approximativement égale à 2,718.
Inverse
Une fonction est dite inverse d'une autre fonction si la composition de ces deux fonctions donne l'identité.
Propriétés de base de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien possède plusieurs propriétés fondamentales qui la rendent indispensable en mathématiques, notamment:
Dérivée et continuïté
La fonction logarithme népérien est différentiable sur son domaine. Sa dérivée est donnée par:
f'(x) = 1/x, pour tout x > 0.
Cette dérivée montre que la fonction ln(x) est croissante sur son domaine. De plus, la fonction ln(x) est continue sur l'intervalle (0, +∞).
Équations et inéquations logarithmiques
Résoudre une équation logarithmique implique souvent d'utiliser les propriétés du logarithme pour simplifier ou transformer l'équation en une équation exponentielle. Par exemple, pour résoudre ln(x) = 3, on convertit l'équation en sa forme exponentielle: x = e^3.
Pour les inéquations logarithmiques, les propriétés du logarithme sont également utilisées. Par exemple, si ln(x) > 2, alors x > e^2.
A retenir :
Le logarithme népérien, noté ln(x), est une fonction essentielle en mathématiques avec des applications multiples dans diverses disciplines. Ses propriétés principales incluent la somme et la différence des logarithmes pour les produits et les quotients, ainsi que la démonstration que la dérivée de ln(x) est 1/x. Ces caractéristiques font du logarithme népérien un outil puissant pour résoudre diverses équations et inéquations dans un cadre tant théorique que pratique.
