Définition
Fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction mathématique qui peut être représentée sous la forme f(x) = ax, où a est une constante et x est une variable indépendante. Cette fonction a une relation directe de proportionnalité entre les deux variables.
Fonction affine
La fonction affine est une fonction qui s'exprime sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes, a étant le coefficient directeur de la fonction et b l'ordonnée à l'origine.
Coefficient directeur
Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie la variable indépendante x dans l'équation d'une fonction linéaire ou affine. Il indique la pente de la droite représentée par la fonction.
Ordonnée à l'origine
L'ordonnée à l'origine est la valeur de y lorsque x est égal à zéro dans une fonction. Dans une fonction affine, elle est représentée par le terme b.
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère cartésien. Dans une fonction de la forme f(x) = ax, la pente de la droite est déterminée par le coefficient a. Si a est positif, la fonction est croissante, tandis que si a est négatif, la fonction est décroissante.
Comparer fonctions linéaires et affines
Les fonctions linéaires et affines ont des similitudes mais aussi des différences. Tandis qu’une fonction linéaire a une origine qui coïncide avec le point (0,0), une fonction affine peut couper l'axe des y à un point différent, représenté par b dans l'équation f(x) = ax + b.
Applications en Mathématiques
Les fonctions linéaires et affines sont fondamentales en mathématiques et ont de nombreuses applications. Elles sont utilisées pour modéliser un grand nombre de phénomènes où une relation de proportionnalité est impliquée, comme la vitesse, les conversions d'unités, et bien d'autres domaines.
Aussi, dans des contextes plus avancés, les concepts de fonction linéaire et affine trouvent leur place dans l’étude des systèmes linéaires et dans les algèbres linéaires, devenant ainsi des outils cruciaux pour résoudre des ensembles d’équations simultanées.
Exemples et exercices
Considérons la fonction f(x) = 3x. Cette fonction est linéaire avec un coefficient directeur de 3. Cela signifie pour chaque unité d'augmentation dans x, f(x) augmente de 3 unités.
Exercice : Dessinez la courbe de f(x) = 3x et déterminez la pente.
Considérez ensuite la fonction affine g(x) = 2x + 5. Calculez la valeur de g(x) lorsque x = 0 et interprétez le résultat.
A retenir :
Les fonctions linéaires sont un sujet fondamental pour comprendre la relation proportionnelle entre deux variables, leur représentation graphique en ligne droite passant par l'origine est un cas particulier des fonctions affines, qui elles, peuvent avoir un décalage vertical. Les concepts de coefficient directeur et d'ordonnée à l'origine sont essentiels pour interpréter ces fonctions et tirent toute leur importance dans le champ des mathématiques appliquées et théoriques.
