Définition
Fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction f : x ↦ ax où a est un nombre réel, appelé le coefficient de la fonction.
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction f : x ↦ ax + b où a et b sont des nombres réels. a est le coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine.
Propriétés des fonctions linéaires
Les fonctions linéaires sont caractérisées par leur proportionnalité. Si une fonction est linéaire, alors f(x) = ax et cela implique que pour tout x et y, f(x + y) = f(x) + f(y) et f(kx) = kf(x) pour tout scalaire k. Leur graphique est une droite passant par l'origine puisque f(0) = 0.
Graphique des fonctions affines
Les fonctions affines ont pour graphique une droite non nécessairement parallèle à l'axe des abscisses. L'ordonnée à l'origine, b, détermine où la droite coupe l'axe vertical (axe des ordonnées). Le coefficient directeur, a, détermine la pente de la droite, c'est-à-dire son inclinaison par rapport à l'horizontale.
Calcul de l'intersection des fonctions affines avec les axes
Pour trouver l'intersection avec l'axe des ordonnées, il suffit de regarder la valeur de b, puisque l'ordonnée à l'origine b est l'axe où la droite coupe. Pour l'intersection avec l'axe des abscisses, on résout l'équation ax + b = 0, soit x = -b/a, à condition que a soit non nul.
Différences entre fonctions linéaires et affines
Les fonctions linéaires sont un sous-ensemble des fonctions affines. Toutes les fonctions linéaires sont affines, mais toutes les fonctions affines ne sont pas linéaires. Une fonction est linéaire si et seulement si son ordonnée à l'origine b est égale à zéro, ce qui signifie que son graphique passe par l'origine des axes.
A retenir :
Les fonctions linéaires et affines sont des fonctions polynomiales de degré 1, représentées par des droites dans le plan cartésien. Les fonctions linéaires sont de la forme f(x) = ax et passent par l'origine alors que les fonctions affines sont de la forme f(x) = ax + b et peuvent couper l'axe des ordonnées à b. Dans l'étude de ces fonctions, comprendre la représentation graphique et le rôle des paramètres a et b est crucial pour déterminer leur comportement et points d'intersection.
