Définition
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée exp(x), est une fonction mathématique qui associe à tout nombre réel x le nombre e^x, où e est la base du logarithme naturel, soit environ 2,718281828459.
Exposant
L'exposant est la puissance à laquelle un nombre (la base) est élevé. Par exemple, dans e^x, x est l'exposant.
Croissance exponentielle
Une croissance exponentielle est une augmentation qui se produit à un taux constant par rapport à la quantité présente.
Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle a plusieurs propriétés fondamentales qui la caractérisent :
- Elle est définie et dérivable sur l'ensemble des réels R.
- Sa dérivée est égale à elle-même, c'est-à-dire que (e^x)' = e^x.
- Elle est strictement croissante sur R.
- La courbe représentative de la fonction exponentielle ne coupe jamais l'axe des abscisses, ce qui signifie que e^x est toujours positif pour tout x réel.
Calculs avec la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est souvent utilisée dans les calculs impliquant des taux de croissance continus. Voici quelques règles fondamentales pour les manipulations algébriques :
- Pour un produit d'exponentielles : e^a * e^b = e^(a+b).
- Pour un quotient d'exponentielles : e^a / e^b = e^(a-b).
- Pour une exponentielle d'une puissance : (e^a)^b = e^(a*b).
Applications de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle a de nombreuses applications pratiques, particulièrement dans les domaines scientifiques tels que :
- En physique, pour modéliser des phénomènes tels que la radioactivité et la croissance des populations.
- En économie, pour calculer l'intérêt composé.
- En biologie, pour décrire la croissance exponentielle d'une population.
Résolution d'équations exponentielles
Pour résoudre des équations impliquant des fonctions exponentielles, il est souvent nécessaire d'utiliser des logarithmes. Par exemple, pour résoudre e^x = a, on utilise la fonction logarithme pour obtenir x = ln(a), sous réserve que a > 0.
A retenir :
La fonction exponentielle e^x est centrale en mathématiques et dans de nombreux domaines scientifiques pour son rôle dans la modélisation de croissance continue. Ses propriétés uniques la rendent indispensable pour l'analyse mathématique avancée, et sa compréhension est essentielle pour résoudre des problèmes exponentiels.
