Définition
Fonction du second degré
Une fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des coefficients réels avec a ≠ 0.
Forme canonique
La forme canonique d'une fonction quadratique est f(x) = a(x - h)² + k, où (h, k) est le sommet de la parabole.
Discriminant
Le discriminant Δ d'un trinôme ax² + bx + c est donné par Δ = b² - 4ac. Il permet d'analyser la nature des racines de l'équation.
La représentation graphique d'une fonction du second degré
Une fonction du second degré est représentée graphiquement par une parabole. Le coefficient a détermine l'orientation de la parabole. Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut, et si a < 0, elle s'ouvre vers le bas.
Le sommet de la parabole correspond au point le plus bas ou le plus haut de la parabole, selon l'orientation. Ce sommet se trouve aux coordonnées (h, k) où h = -b / (2a) et k est obtenu en calculant f(h).
Les solutions d'une équation du second degré
L'équation du second degré ax² + bx + c = 0 peut avoir zéro, une, ou deux solutions réelles. Ces solutions sont déterminées par le discriminant Δ.
Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes données par x₁ = (-b + √Δ) / (2a) et x₂ = (-b - √Δ) / (2a).
Si Δ = 0, il y a une solution double, x = -b / (2a).
Si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle (les solutions sont imaginaires).
Forme factorisée d'un trinôme du second degré
La forme factorisée d'une fonction quadratique f(x) = ax² + bx + c est donnée par f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) où x₁ et x₂ sont les racines de l'équation ax² + bx + c = 0.
Cette forme est particulièrement utile pour déterminer les zéros de la fonction, c'est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.
Étude de la variation d'une fonction du second degré
Une fonction quadratique est croissante ou décroissante selon l'intervalle des valeurs de x. Si a > 0, la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-∞, h] et croissante sur [h, +∞[.
Si a < 0, la fonction est croissante sur l'intervalle ]-∞, h] et décroissante sur [h, +∞[.
A retenir :
Les fonctions du second degré sont des polynômes représentés par des paraboles dont le sommet est donné par la formule (-b/2a, f(-b/2a)). Le discriminant Δ détermine le nombre et la nature des solutions de l'équation associée. Chaque facteur, chaque valeur critique de la fonction, est essentielle à sa compréhension tant graphique qu'algébrique.
