Définition
Fonction du second degré
Une fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.
Forme canonique
La forme canonique d'une fonction polynomiale du second degré est exprimée sous la forme f(x) = a(x - α)² + β, où (α, β) est le sommet de la parabole représentée par la fonction.
Résolution des équations du second degré
Pour résoudre une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0, on utilise la méthode du discriminant, noté Δ. Il se calcule grâce à la formule Δ = b² - 4ac. L'étude du signe de Δ permet de déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation.
Cas du discriminant
Δ > 0
Si le discriminant est positif, l'équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂, données par les formules : x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a).
Δ = 0
Si le discriminant est nul, l'équation n'admet qu'une seule solution réelle, appelée solution double, x₀ = -b / (2a). Dans ce cas, la parabole est tangente à l'axe des abscisses.
Δ < 0
Si le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de solutions réelles. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Étude de la fonction f(x) = ax² + bx + c
Le sommet de la parabole
Le sommet de la parabole représentée par la fonction du second degré donne des informations importantes. Les coordonnées du sommet (α, β) peuvent être calculées par les formules : α = -b/(2a) et β = f(α), où f(α) représente l'ordonnée du sommet obtenue en calculant f pour x = α.
La concavité de la parabole
La concavité de la parabole, c'est-à-dire la direction dans laquelle elle s'ouvre, dépend du signe de a. Si a > 0, la parabole est concave vers le haut (elle présente un minimum). Si a < 0, elle est concave vers le bas (elle présente un maximum).
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole. Le sens d'ouverture dépend du coefficient a. Positionnez le sommet à (α, β) et tracez la parabole en fonction des racines obtenues par l'équation ou de la direction de la concavité.
A retenir :
Les fonctions du second degré sont des polynômes de degré 2 caractérisés par leur forme générale ax² + bx + c. Leur étude passe par le calcul du discriminant Δ, qui guide la détermination des racines de l'équation associée. Le sommet de la parabole, qui est l'expression graphique de cette fonction, est déterminé par les coordonnées (α, β). La concavité de la parabole est déterminée par le signe de a.
