Définition
Fonction
Une relation qui, à chaque élément d'un ensemble donné (appelé domaine), associe un unique élément d'un autre ensemble (appelé codomaine).
Dérivée
La dérivée d'une fonction est un concept qui permet de mesurer la sensibilité de la fonction au changement de ses variables d'entrée. Concrètement, c'est la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en un point donné.
Différentiabilité
Une fonction est dite différentiable en un point si elle admet une dérivée en ce point.
La notion de dérivée
La dérivée est une mesure de la variation d'une fonction en un point donné. Considérons une fonction f définie sur un intervalle. La dérivée de f en un point x est une valeur numérique qui représente la pente de la tangente à la courbe y = f(x) au point (x, f(x)). Cette notion est essentielle en analyse car elle permet de comprendre comment une fonction change localement.
Pour évaluer la dérivée, utilise la formule de limite : \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \). Si cette limite existe, alors f est dérivable en x et la valeur de la limite est la dérivée de f en x.
Différentiabilité sur un intervalle
Une fonction peut être différentiable sur un intervalle si elle est différentiable en chaque point de cet intervalle. La différentiabilité implique la continuité, c'est-à-dire que si une fonction f est différentiable sur un intervalle, elle est aussi continue sur cet intervalle. Toutefois, la réciproque n'est pas vraie: une fonction continue n'est pas nécessairement différentiable.
Applications pratiques de la différentiabilité
La différentiabilité est une propriété cruciale dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences. Elle permet par exemple d'approximer des fonctions à l'aide de polynômes (développement de Taylor), de résoudre des problèmes d'optimisation, ou encore de modéliser des phénomènes physiques.
Exemples de calculs de dérivées
Considérons quelques fonctions classiques et calculons leurs dérivées :
1. Pour f(x) = x^2, la dérivée f'(x) = 2x.
2. Pour f(x) = sin(x), la dérivée f'(x) = cos(x).
3. Pour f(x) = e^x, la dérivée f'(x) = e^x.
Ces exemples illustrent comment différencier des fonctions courantes de manière directe.
A retenir :
Une fonction différentiable est celle qui possède une dérivée à un point. La dérivée quantifie la variation du taux de la fonction. La différentiabilité assure que la fonction est continue en ce point, mais une fonction continue n'est pas toujours différentiable. Comprendre cette notion est essentiel pour étudier les comportements locaux des fonctions et résoudre des problèmes complexes dans différents domaines scientifiques et mathématiques.
