Définitions
Définition
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction polynomiale de degré un qui peut s'écrire sous la forme f(x) = mx + b, où m et b sont des constantes réelles.
Coefficient directeur
Le coefficient directeur (ou pente) d'une fonction affine est la valeur de m dans l'expression f(x) = mx + b. Il représente le taux de variation de la fonction.
Ordonnée à l'origine
L'ordonnée à l'origine est la valeur de b dans l'expression f(x) = mx + b. Elle représente le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (axe y).
Propriétés et Représentation
Une fonction affine est représentée graphiquement par une droite dans le plan cartésien. Le coefficient directeur m indique l'inclinaison de cette droite: plus la valeur absolue de m est élevée, plus la droite est inclinée par rapport à l'axe des abscisses. L'ordonnée à l'origine b indique où la droite coupe l'axe des ordonnées.
La pente m est calculée comme le rapport de la variation de y sur la variation de x entre deux points distincts de la droite. Si m est positive, la droite monte vers la droite; si m est négative, la droite descend vers la droite.
Calcul et Utilisation
Pour trouver l'expression d'une fonction affine, il est nécessaire de déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. En général, on dispose de deux points sur la droite (x1, y1) et (x2, y2).
Le coefficient directeur m est calculé en utilisant la formule : m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Ensuite, pour déterminer l'ordonnée à l'origine b, on peut substituer m et les coordonnées d'un des points dans l'équation de la droite pour résoudre b.
Application aux Problèmes de la Vie Réelle
Les fonctions affines sont largement utilisées dans des modèles de croissance linéaire, de relations entre variables économiques, et pour estimer des tendances à partir de données. Par exemple, un modèle de coût fixe avec un coût variable peut être représenté par une fonction affine où la partie fixe est l'ordonnée à l'origine et le coût variable est un multiplicateur de quantité produite (le coefficient directeur).
Un autre exemple est l'évaluation de la distance parcourue sur la base de la vitesse constante : la distance (d) est une fonction affine du temps (t), sous la forme d = vt + c, où v est la vitesse (coefficient directeur) et c est la distance de départ (ordonnée à l'origine).
A retenir :
Les fonctions affines, caractérisées par leur forme linéaire f(x) = mx + b, sont des concepts fondamentaux en mathématiques qui représentent graphiquement des droites sur un plan cartésien. Elles sont d'une grande utilité dans le cadre d'analyse linéaire pour interpréter des relations et modèles directs entre variables dans des situations réelles, allant des finances à la physique et à l'ingénierie. Comprendre leur fonctionnement, leur calcul à partir de deux points et leur représentation graphique est crucial pour aborder des problèmes complexes et favoriser une modélisation précise.
