Définition
Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès établit une relation de proportion entre des segments issus de droites parallèles coupées par deux sécantes.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Utilisation du théorème de Thalès
Conditions d'application
Pour appliquer le théorème de Thalès, il est nécessaire que les droites soient sécantes et que les segments homologues soient sur des droites parallèles. Si nous considérons deux droites sécantes (d) et (d'), et deux droites parallèles (p) et (p'), coupant ces sécantes, alors :
- Dans le triangle formé par les sécantes et une première droite parallèle, les segments créés sur l'autre droite parallèle seront proportionnels.
- Cela implique que le rapport des longueurs des segments sur une sécante est égal au rapport des longueurs des segments correspondants sur l'autre sécante.
Exemple et résolution
Considérons les droites (AB) et (CD) qui se coupent en un point O, et soient (EF) et (GH) deux droites parallèles. Si AE = 3 cm, EB = 2 cm, et CG = 6 cm, nous cherchons la valeur de GH.
Selon le théorème de Thalès, nous avons : AE/EB = CG/GH. En remplaçant par les valeurs données, nous avons 3/2 = 6/x. En résolvant cette équation, nous obtenons : x = 4 cm. Ainsi, GH mesure 4 cm.
Utilisation du théorème de Pythagore
Concept et démonstration
Le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles. C'est une méthode extrêmement utile pour calculer la longueur de l'hypoténuse ou des autres côtés, si deux des longueurs sont connues. Soit un triangle ABC rectangle en A, avec hypothèse comme côté opposé à l'angle droit, noté c, et les autres longueurs notées a et b. Alors, on a : c² = a² + b².
Exemple et résolution
Prenons un triangle rectangle où l'hypoténuse AC mesure 10 cm et un côté, AB, mesure 6 cm. Pour trouver BC, nous utilisons le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC². En remplaçant, nous avons : 10² = 6² + BC², ce qui donne 100 = 36 + BC². En résolvant, BC² = 64, donc BC = 8 cm.
A retenir :
Dans ce cours, nous avons vu deux théorèmes fondamentaux de la géométrie : le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore. Le théorème de Thalès nécessite que les droites soient sécantes et les segments homologues parallèles pour établir des rapports de proportionnalité. Quant au théorème de Pythagore, il concerne les triangles rectangles et donne une relation entre les côtés en se basant sur le fait que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ces deux théorèmes peuvent être utilisés pour résoudre de nombreux problèmes pratiques tels que mesurer des distances non accessibles directement.
