Définitions
Définition
Suite numérique
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels et à valeurs dans un ensemble numérique (typiquement l'ensemble des réels).
Suite arithmétique
Une suite (u_n) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, u_(n+1) = u_n + r. Le nombre r est appelé raison de la suite.
Suite géométrique
Une suite (v_n) est géométrique s'il existe un réel q (appelé raison) tel que pour tout entier naturel n, v_(n+1) = v_n * q.
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique se traduit par le fait que l'on ajoute un nombre fixe, appelé raison, pour passer d'un terme au suivant. Par exemple, si on a une suite arithmétique de raison 3, et que le premier terme est 2, les termes suivants sont 5, 8, 11, etc.
Les propriétés importantes incluent la somme des termes consécutifs et la formule pour le n-ième terme. La formule pour le n-ième terme d'une suite arithmétique est : u_n = u_0 + n * r, où u_0 est le premier terme et r est la raison. La somme des n premiers termes est S_n = (n/2) * (u_0 + u_n).
Suites géométriques
Les suites géométriques fonctionnent par multiplication d'un terme de la suite par un nombre fixe, la raison, pour obtenir le terme suivant. Ainsi, pour une suite de premier terme 3 et de raison 2, les suites de termes seront 3, 6, 12, 24, etc.
La formule générale pour le n-ième terme d'une suite géométrique est v_n = v_0 * q^n, où v_0 est le premier terme et q la raison. La somme des n premiers termes, si q ≠ 1, se calcule par : S_n = v_0 * (1 - q^n) / (1 - q). Lorsque q = 1, la suite est constante, et la somme est simplement n * v_0.
Comparaison des types de suites
Les suites arithmétiques et géométriques diffèrent en ce que dans la première, la progression est linéaire, alors que dans la seconde, elle est exponentielle. Cela induit des comportements très différents des suites à long terme. Typiquement, une suite géométrique avec une raison q > 1 croît beaucoup plus rapidement qu'une suite arithmétique.
Pour une suite arithmétique croissante, un examen attentif de la raison est suffisant pour déterminer la nature de la suite. En revanche, pour une suite géométrique avec raison q entre -1 et 1, la suite tend vers zéro.
Utilisation des suites en résolution de problèmes
Les suites sont souvent utiles dans les problèmes de concurrence et de récurrence, d'autant plus qu'elles permettent de modéliser des situations où une quantité change régulièrement. Elles sont aussi essentielles pour évaluer des sommes complexes et établir divers types de démonstrations par récurrence.
Chez les suites géométriques notamment, les applications comprennent la modélisation de phénomènes de croissance exponentielle, comme par exemple la croissance d'une population ou la dépréciation d'une valeur monétaire.
A retenir :
Dans ce cours sur les suites numériques, nous avons détaillé les définitions essentielles, comparé les deux principaux types de suites abordés en terminale — arithmétiques et géométriques — et étudié leur application en résolution de problèmes. Les suites arithmétiques ajoutent une raison constante, formant des progressions linéaires, alors que les suites géométriques multiplient les termes par une raison constante, conduisant à des progressions exponentielles. Comprendre ces concepts est crucial pour maîtriser une large part des contenus mathématiques terminaux et de leurs applications pratiques.