Définition
Fonction
Une fonction est une relation entre deux ensembles qui associe à chaque élément du premier ensemble un unique élément du second ensemble.
Image d'une fonction
L'image d'un élément x par une fonction f est l'élément f(x) dans l'ensemble d'arrivée.
Domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
Fonction croissante, décroissante
Une fonction est croissante sur un intervalle si pour tout x1 < x2, f(x1) ≤ f(x2). Elle est décroissante si f(x1) ≥ f(x2).
Notion de Fonction
Une fonction est un concept de base en mathématiques qui permet de modéliser les relations entre différentes quantités. Par exemple, en physique, la vitesse d'un objet est souvent exprimée en fonction du temps. Une fonction est définie par un ensemble de départ (le domaine) et un ensemble d'arrivée (le codomaine), chaque élément du domaine ayant une image dans le codomaine.
Les fonctions peuvent être représentées de différentes manières : algébriquement par une formule, graphiquement par une courbe, ou sous forme de tableau de valeurs. Comprendre les fonctions et savoir comment les manipuler est crucial pour de nombreux sujets en mathématiques et sciences appliquées.
Les Fonctions de Référence
Les fonctions de référence jouent un rôle fondamental en mathématiques car elles servent de modèles pour l'étude et la compréhension de fonctions plus complexes. Parmi les fonctions de référence les plus couramment étudiées au lycée, on trouve :
1. La fonction affine : f(x) = ax + b.
2. La fonction quadratique : f(x) = ax² + bx + c.
3. La fonction racine carrée : f(x) = √x.
4. La fonction logarithmique : f(x) = log(x).
5. La fonction exponentielle : f(x) = exp(x).
Chacune de ces fonctions possède des propriétés spécifiques qui influencent leur représentation graphique, comme la symétrie, les asymptotes, et les types de variation. Par exemple, la fonction quadratique a toujours une parabole comme représentation graphique, tandis que la fonction exponentielle est définie par une croissance ou décroissance rapide.
Variation d'une Fonction
La variation d'une fonction décrit comment les valeurs de la fonction changent en fonction des valeurs de x. Analyser la variation d'une fonction peut aider à comprendre son comportement global sans nécessairement tracer son graphe. Les outils principaux pour analyser la variation sont :
- Le signe de la dérivée de la fonction.
- Les tableaux de variation.
Une dérivée positive sur un intervalle indique que la fonction est croissante, tandis qu'une dérivée négative indique qu'elle est décroissante. Les points où la dérivée est nulle peuvent indiquer des extrema (maximum ou minimum). Un tableau de variation permet de lister graphiquement et de résumer ces informations pour avoir une vue d'ensemble rapidement accessible.
Il est également essentiel de comprendre les concepts de concavité et de convexité, qui décrivent la manière dont la pente de la fonction change. En étudiant la dérivée seconde, on peut déterminer ces aspects et améliorer ainsi la compréhension générale du graphe de la fonction.
A retenir :
Les fonctions sont un outil essentiel en mathématiques qui permettent de modéliser et d'analyser la relation entre les quantités. Plusieurs types de fonctions de référence, comme les fonctions affines, quadratiques, et exponentielles, servent de base pour comprendre et étudier des fonctions plus complexes. Analyser la variation d'une fonction, à travers ses dérivées et tableaux de variation, est crucial pour comprendre comment une fonction se comporte sur un intervalle donné.
