Définition
Équation
Une équation est une égalité mathématique qui contient une ou plusieurs inconnues. Elle est généralement exprimée sous la forme f(x) = g(x), où f(x) et g(x) sont des expressions qui peuvent contenir des constantes et des variables.
Solution d'une équation
Une solution d'une équation est la valeur ou l'ensemble de valeurs que peuvent prendre les inconnues pour que l'égalité soit vraie.
Inéquation
Une inéquation est une expression mathématique qui exprime une relation d'ordre entre deux expressions, de la forme f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x), ou f(x) ≥ g(x).
Équations linéaires
Les équations linéaires sont des équations du premier degré qui ont une forme générale ax + b = 0, où "a" et "b" sont des constantes. Résoudre une équation linéaire, c'est trouver la valeur de "x" pour laquelle l'égalité est vraie.
Exemple : Résolvons l'équation 3x + 6 = 0.
Pour trouver la valeur de x, il suffit de suivre les étapes suivantes :
1. Soustraire 6 de chaque côté : 3x = -6.
2. Diviser chaque côté par 3 : x = -2.
Ainsi, la solution de l'équation est x = -2.
Équations produits
Les équations produits sont des équations sous la forme (A * B) = 0, où "A" et "B" sont des expressions qui contiennent des variables. Pour que le produit soit égal à zéro, au moins l'une des expressions doit être égale à zéro.
Exemple : Résolvons l'équation (x - 4)(x + 2) = 0.
1. Pour que le produit soit égal à zéro, il faut que l'un des facteurs soit égal à zéro.
2. x - 4 = 0 -> x = 4.
3. x + 2 = 0 -> x = -2.
Les solutions de l'équation sont x = 4 et x = -2.
Équations quotients
Les équations quotients sont des équations sous la forme (A / B) = 0, où "A" et "B" sont des expressions contenant des variables. Pour qu'une fraction soit égale à zéro, le numérateur "A" doit être égal à zéro, et le dénominateur "B" ne doit pas être égal à zéro.
Exemple : Résolvons l'équation (x^2 - 9)/(x - 3) = 0.
1. Pour que la fraction soit égale à zéro, x^2 - 9 = 0.
2. x^2 - 9 est un produit remarquable, (x - 3)(x + 3) = 0.
3. Les solutions du numérateur sont x = 3 et x = -3. Mais dans cette équation, x ne peut pas être 3 car cela annulerait le dénominateur.
La solution de l'équation est x = -3.
Inéquations
Les inéquations sont similaires aux équations, mais elles expriment une inégalité plutôt qu'une égalité. Elles sont résolues en utilisant des techniques similaires à la résolution des équations, tout en prenant soin que les solutions respectent l'inégalité initiale.
Exemple : Résolvons l'inéquation 2x - 5 > 3.
1. Ajouter 5 à chaque côté : 2x > 8.
2. Diviser chaque côté par 2 : x > 4.
La solution de l'inéquation est x > 4.
A retenir :
Les concepts d'équations et d'inéquations sont fondamentaux en mathématiques. Les équations établissent des relations d'égalité entre des expressions avec inconnues, et leur résolution consiste à trouver les valeurs de ces inconnues qui satisfont l'égalité. Il existe différents types d'équations, telles que les équations linéaires, produits, et quotients, chacune ayant une méthode de résolution spécifique. Les inéquations, quant à elles, établissent des relations d'ordre et se résolvent en maintenant l'inégalité après chaque transformation. Chaque type d'équation et d'inéquation peut être résolu selon ses propres règles, mais toutes suivent un ensemble commun de principes mathématiques.
