Définition
Équation du second degré
Une équation du second degré est une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels et a est différent de zéro.
Discriminant
Le discriminant (noté Δ) est une expression qui permet de déterminer le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré. Il est donné par la formule Δ = b² - 4ac.
Solution d'une équation du second degré
Les solutions d'une équation du second degré sont les valeurs de x qui vérifient l'équation. Selon le discriminant, une équation du second degré peut avoir deux solutions, une solution ou aucune solution réelle.
Forme générale et réduction
Une équation du second degré se présente sous la forme générale ax² + bx + c = 0. Lorsqu'on rencontre une équation qui ne semble pas être de cette forme, l'objectif est de manipuler l'équation pour la réduire à sa forme standard. Cela peut nécessiter de déplacer des termes d'un côté de l'équation ou de simplifier des fractions pour obtenir l'expression correcte.
Calcul du discriminant
Le discriminant Δ de l'équation du second degré ax² + bx + c = 0 est calculé avec la formule Δ = b² - 4ac. Le discriminant est un élément clé car il donne des informations sur le nombre de solutions réelles possibles pour l'équation.
Interpretation du discriminant
- Si Δ > 0
Si le discriminant est strictement positif, l'équation du second degré a deux solutions réelles distinctes. Les solutions sont données par les formules:
x₁ = (-b + √Δ) / (2a)
x₂ = (-b - √Δ) / (2a)
- Si Δ = 0
Si le discriminant est égal à zéro, l'équation du second degré a une solution réelle double, appelée solution double. Cette solution est:
x = -b / (2a)
- Si Δ < 0
Si le discriminant est strictement négatif, l'équation du second degré n'a pas de solutions réelles. Les solutions sont complexes et ne seront pas abordées dans ce cours de Première.
Formules de résolution
Pour résoudre une équation du second degré, il est crucial de se rappeler des formules pour les solutions et de les appliquer correctement selon la valeur du discriminant calculé:
- Pour Δ > 0 : x₁ = (-b + √Δ) / (2a) et x₂ = (-b - √Δ) / (2a)
- Pour Δ = 0 : x = -b / (2a)
- Pour Δ < 0 : Pas de solution réelle.
A retenir :
Les équations du second degré sont caractérisées par leur forme générale ax² + bx + c = 0, et leur résolution dépend de la valeur du discriminant Δ = b² - 4ac. Selon que Δ soit positif, nul ou négatif, l'équation peut avoir respectivement deux solutions réelles distinctes, une solution réelle double ou aucune solution réelle.
