y = mx + p
Définition
Equation réduite d'une droite
L'équation réduite d'une droite est une expression mathématique de la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p est l'ordonnée à l'origine.
Coefficient directeur
Le coefficient directeur d'une droite, noté m, représente la pente de la droite. Il est calculé comme le rapport entre la variation de y et la variation de x (Δy/Δx) entre deux points de la droite.
Ordonnée à l'origine
L'ordonnée à l'origine, notée p, est la valeur de y lorsque x=0. C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Vecteur directeur d'une droite
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui définit la direction de cette droite. En d'autres termes, c'est un vecteur non nul qui est parallèle à la droite.
Equation réduite d'une droite
Le coefficient directeur, m, indique l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des x. S'il est positif, la droite monte de gauche à droite, et s'il est négatif, elle descend. Une valeur nulle signifie que la droite est horizontale.
Quant à l'ordonnée à l'origine, p, elle révèle l'endroit où la droite coupe l'axe des y, c'est-à-dire, la valeur de y quand x est égal à zéro.
Calcul du coefficient directeur
Pour calculer le coefficient directeur d'une droite passant par deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂), on utilise la formule :
m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
Cette formule nous donne la pente de la droite, ou encore le taux de variation de y par rapport à x. Il est important de noter que pour une droite verticale, le coefficient directeur est indéfini, car cela impliquerait une division par zéro.
Ordonnée à l'origine
L'ordonnée à l'origine, p, est généralement facile à identifier graphiquement en trouvant l'intersection de la droite avec l'axe des y. Algébriquement, si l'on connaît le coefficient directeur et un point de la droite, on peut déterminer p en substituant les coordonnées de ce point dans l'équation réduite de la droite et en résolvant pour p.
Formellement, si nous connaissons un point (x₀, y₀) sur la droite et le coefficient directeur m, alors p peut être calculé comme : p = y₀ - mx₀.
Vecteurs directeurs d'une droite
Un vecteur directeur d'une droite est essentiel pour définir sa direction. Tous les vecteurs d'une droites sont colinéaires, ils ont tous la même direction (peut importe leur sens et norme) et sont tous parallèles avec la droite qu'ils définissent.
Une droite a donc une infinité de vecteurs directeurs.
Il peut être défini par toute coordonnée sous forme (1k ; mk) avec k réel non nul
Remarque : Les vecteurs directeurs sont très utiles notamment dans les calculs relatifs aux droites parallèles ou perpendiculaires. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, autrement dit, leurs vecteurs directeurs sont proportionnels.
A retenir :
En résumé, l'équation réduite d'une droite peut être écrite sous la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine. Le coefficient directeur détermine l'inclinaison de la droite, et l'ordonnée à l'origine indique où la droite coupe l'axe des y. De plus, un vecteur directeur (1k ; mk) peut être utilisé pour décrire la direction d'une telle droite et est fondamental pour déterminer si deux droites sont parallèles.
