Définition
Division Euclidienne
La division euclidienne est une technique mathématique qui consiste à diviser un nombre entier par un autre, en obtenant un quotient et un reste. Le reste est toujours inférieur au diviseur.
Quotient
Le quotient est le résultat entier de la division d'un dividende par un diviseur lorsqu'on effectue une division euclidienne.
Reste
Le reste est la différence entre le dividende et le produit du diviseur par le quotient qui provient de la division euclidienne. Il est toujours inférieur au diviseur.
Algorithme de la Division Euclidienne
Pour réaliser une division euclidienne, l'algorithme est le suivant :
1. Prenez deux nombres entiers, un dividende 'a' et un diviseur 'b' (b ≠ 0).
2. Divisez 'a' par 'b' pour obtenir le quotient 'q'.
3. Calculez le produit de 'b' et 'q'.
4. Déduisez ce produit de 'a' pour obtenir le reste 'r'.
5. Confirmez que le reste 'r' est inférieur à 'b'.
Exemples de Division Euclidienne
Considérons l'exemple de la division euclidienne de 17 par 5.
Effectuons le calcul :
1. 17 ÷ 5 donne un quotient 'q' de 3, car 3 * 5 = 15.
2. Le reste 'r' est donc 17 - 15 = 2.
3. Vérifions : 2 < 5. L'égalité de la division euclidienne est satisfaite.
Un autre exemple est la division euclidienne de 23 par 4 :
1. 23 ÷ 4 donne un quotient 'q' de 5, car 5 * 4 = 20.
2. Le reste 'r' est donc 23 - 20 = 3.
3. Vérification : 3 < 4. L'égalité de la division euclidienne est correcte.
Propriétés de la Division Euclidienne
La division euclidienne possède plusieurs propriétés importantes sur lesquelles on peut s'appuyer :
1. Unicité : Pour deux nombres entiers fixés 'a' et 'b', quelles que soient les valeurs, il existe un unique couple (q, r) tel que a = bq + r où 0 ≤ r < |b|.
2. Validation : Le reste est systématiquement inférieur au diviseur.
3. Relation fondamentale : Si r = 0, alors 'a' est multiple de 'b', et 'b' divise 'a'.
A retenir :
La division euclidienne est un outil fondamental en mathématiques pour décomposer un nombre en un quotient et un reste lorsqu'un nombre entier est divisé par un autre. Elle est essentielle dans les calculs de décomposition et de factorisation, ainsi que dans les systèmes numériques où elle aide à déterminer les multiples et à simplifier les rapports entre nombres entiers. Les propriétés de la division euclidienne, comme l'unicité et la relation entre quotient et reste, offrent une structure indispensable pour l'arithmétique et l'algèbre.
