Définitions
Définition
Développement
Le développement est une opération qui consiste à transformer un produit en une somme ou une différence. Par exemple, a(b + c) devient ab + ac.
Parenthèses
Les parenthèses sont des symboles utilisés en mathématiques pour grouper des termes et indiquer la priorité des opérations à effectuer.
Distributivité
La distributivité est une propriété de l'algèbre qui permet de distribuer une multiplication sur une addition ou une soustraction. Elle s'exprime par: a(b + c) = ab + ac.
Règles de base pour supprimer les parenthèses
Lorsqu'on veut supprimer des parenthèses précédées d'un signe +, on peut tout simplement enlever les parenthèses sans changer les signes à l'intérieur. Par exemple, dans l'expression 5 + (2 + 3), les parenthèses peuvent être supprimées pour donner 5 + 2 + 3.
En revanche, lorsqu'on entend supprimer des parenthèses précédées d'un signe -, il est nécessaire d'inverser tous les signes qui se trouvent à l'intérieur des parenthèses. Par exemple, dans l'expression 7 - (3 + 4), retirer les parenthèses donne 7 - 3 - 4.
Développer les expressions avec des parenthèses
Pour développer une expression algébrique qui contient des parenthèses, on applique la distributivité. Si un facteur multiplie une somme (ou une différence) entre parenthèses, chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse doit être multiplié par ce facteur. Prenons un exemple : pour développer 3(x + 2), on distribue le 3 pour obtenir 3x + 6.
Un autre exemple avec la soustraction : développons 2(4 - y). Chaque terme dans la parenthèse est multiplié par 2, ce qui donne 8 - 2y.
Cas particuliers et pièges à éviter
Il existe des pièges courants lorsqu’on travaille avec des parenthèses. Un problème fréquemment rencontré est l'erreur de signe lors de la suppression des parenthèses précédées d'un signe négatif. Dans l'expression - (x - 1), il est essentiel de changer les signes pour obtenir -x + 1.
Il faut également faire attention aux parenthèses imbriquées. Dans ce cas, on commence par traiter les parenthèses les plus profondes en premier. Par exemple, pour l'expression 2(3 - (4 - 2)), on simplifie d'abord (4 - 2) pour obtenir 2(3 - 2), ce qui résulte finalement en 2 * 1 = 2.
A retenir :
La manipulation des parenthèses en algèbre implique le développement et la simplification des expressions de manière méthodique. En supprimant les parenthèses, il est crucial de respecter les règles de signe et d'appliquer les propriétés de distributivité. Les erreurs courantes incluent une gestion incorrecte des signes dans les soustractions et les parenthèses imbriquées. Maîtriser ces principes fondamentaux est essentiel pour progresser en algèbre et résoudre des équations complexes.
