Définitions
Définition
Fonction dérivable
Une fonction est dite dérivable en un point si elle admet une dérivée en ce point, c'est-à-dire si la limite du taux de variation autour de ce point existe.
Dérivée
La dérivée d'une fonction en un point est le nombre qui représente la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point.
Notation de la dérivée
La dérivée d'une fonction \( f \) en un point \( a \) est notée \( f'(a) \).
Fonction dérivée
La fonction dérivée est la fonction qui, à chaque point, associe la dérivée de la fonction en ce point.
Calcul de la dérivée
Dérivée des fonctions usuelles
Certaines fonctions ont des dérivées bien connues que l'on utilise fréquemment en analyse. Voici quelques exemples clés :
1. La dérivée de \( f(x) = x^n \) (où \( n \) est un entier) est \( f'(x) = nx^{n-1} \).
2. La dérivée de \( f(x) = \sin(x) \) est \( f'(x) = \cos(x) \).
3. La dérivée de \( f(x) = \cos(x) \) est \( f'(x) = -\sin(x) \).
4. La dérivée de \( f(x) = e^x \) est \( f'(x) = e^x \).
Règles de dérivation
Il existe plusieurs règles pour faciliter le calcul des dérivées de fonctions plus complexes :
1. **Règle de la somme :** La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées.
2. **Règle du produit :** La dérivée d'un produit de deux fonctions \( u \) et \( v \) est \( (uv)' = u'v + uv' \).
3. **Règle du quotient :** La dérivée du quotient de deux fonctions \( u \) et \( v \) (avec \( v \neq 0 \)) est \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
4. **Règle de la chaîne (ou dérivation composée) :** Si \( y = f(g(x)) \), alors \( y' = f'(g(x))g'(x) \).
Dérivation spéciale en Première
Application des dérivées
En Première, on utilise la dérivation pour étudier le comportement des fonctions, notamment pour déterminer les variations d'une fonction et identifier ses extrema (maximum et minimum).
Un tableau de variation est un outil précieux qui synthétise cette information pour aider à comprendre comment une fonction croît ou décroît sur un intervalle donné.
Interprétation graphique
La dérivée d'une fonction à un point donné indique la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point. Une dérivée positive signifie que la fonction est croissante, tandis qu'une dérivée négative indique qu'elle est décroissante.
Fonctions polynômes et exponentielles
Les fonctions polynômes et exponentielles sont particulièrement importantes en spécialité de Première. Leur comportement, influencé par les règles de dérivation, offre un terrain fertile pour comprendre des concepts avancés comme l'analyse des graphes de fonctions et l'étude des limites.
A retenir :
La dérivation est fondamentale pour comprendre comment les fonctions se comportent localement et globalement. Elle permet de calculer la pente d'une fonction, d'identifier les points où la fonction atteint des valeurs particulières comme les maxima et minima, et de bien saisir le sens de variation d'une fonction. Les règles de dérivation facilitent ces calculs pour des fonctions complexes. En première spécialité, une attention particulière est accordée aux applications pratiques, ainsi qu'aux fonctions polynômes et exponentielles qui constituent des exemples courants que l'on rencontre dans divers contextes mathématiques.
