Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe chaque élément d'un ensemble de départ à un élément d'un ensemble d'arrivée.
Dérivée
La dérivée d'une fonction en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.
Tangente
La tangente à une courbe en un point est la droite qui passe par ce point et qui a la même pente que la courbe à cet endroit.
Principes de la dérivation
La dérivation est une opération qui associe à une fonction une autre fonction, appelée fonction dérivée, qui mesure la variation instantanée de la première fonction. En termes géométriques, la dérivée d'une fonction f(x) à un point x est la pente de la tangente à la courbe y = f(x) en ce point.
Règles de dérivation
Dérivée d'une fonction constante
La dérivée d'une fonction constante est nulle. En effet, une fonction constante ne varie pas, sa pente est donc de 0. Mathématiquement, si c est une constante, alors (c)' = 0.
Dérivée d'une fonction identité
La dérivée de la fonction identité f(x) = x est 1. Cela signifie que pour chaque valeur de x, la pente de la tangente à la courbe est constante et égale à 1.
Règle de la somme
La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme de leurs dérivées. Formellement, si f(x) et g(x) sont deux fonctions, alors (f + g)' = f' + g'.
Règle du produit
La dérivée du produit de deux fonctions est donnée par la formule : (f * g)' = f' * g + f * g'.
Règle du quotient
La dérivée du quotient de deux fonctions est donnée par la formule : (f/g)' = (f' * g - f * g') / g², pour g(x) différent de zéro.
Applications de la dérivation
La dérivation permet d'étudier les variations d'une fonction. Elle est utilisée pour déterminer les points critiques (minima, maxima, points d'inflexion), pour comprendre le comportement global des courbes et prévoir les tendances de certains phénomènes modélisés par des fonctions.
Propriétés des fonctions dérivables
Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle, mais une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable. Dans les faits, la dérivabilité impose une condition plus forte que la continuité.
Continuité et dérivabilité
Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point. L'inverse n'est pas forcément vrai : il existe des fonctions continues en un point qui ne sont pas dérivables en ce point (comme les fonctions anguleuses ou présentant un 'coud').
A retenir :
Dans ce cours, nous avons défini la fonction, la dérivée et la tangente, des concepts clés pour comprendre la dérivation. Les règles de dérivation permettent de calculer la dérivée de fonctions simples ou composées. Nous avons également vu que la dérivation est un outil puissant pour analyser les variations des fonctions et trouver leurs points critiques comme les maxima et minima. Enfin, la distinction entre continuité et dérivabilité souligne l’exigence plus forte de la dérivabilité comparée à la simple continuité.
