Dérivation
La dérivation est un concept fondamental en mathématiques, utilisé principalement en analyse et en calcul différentiel. Elle permet de mesurer le taux de variation d'une fonction par rapport à sa variable indépendante. En d'autres termes, la dérivation permet d'étudier comment une fonction change lorsque la valeur de son argument change.
Définition
Définition
Définition de la dérivée
La dérivée d'une fonction f en un point x₀, notée f'(x₀) ou dy/dx|x=x₀, est un nombre réel qui représente le taux de variation instantanée de la fonction à ce point. Graphiquement, la dérivée correspond à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point.
Notation
La dérivée d'une fonction f(x) se note de différentes manières : f'(x), dy/dx, y', ...
Calcul de la dérivée
Pour calculer la dérivée d'une fonction, on utilise les règles de dérivation. Les principales règles de dérivation sont les suivantes :
Définition
Dérivée d'une constante
La dérivée d'une constante est nulle.
Dérivée d'une fonction puissance
La dérivée d'une fonction puissance f(x) = x^n, où n est un nombre réel, est donnée par f'(x) = n*x^(n-1).
Dérivée d'une fonction exponentielle
La dérivée d'une fonction exponentielle f(x) = e^x, où e est la base du logarithme népérien, est donnée par f'(x) = e^x.
Dérivée d'une fonction logarithme népérien
La dérivée de la fonction logarithme népérien f(x) = ln(x), où x > 0, est donnée par f'(x) = 1/x.
Il existe de nombreuses autres règles de dérivation, qui permettent de dériver des fonctions plus complexes. Il est important de les connaître et de les appliquer correctement.
Interprétation géométrique
La dérivée d'une fonction a une interprétation géométrique. Elle donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction en chaque point. Lorsque la dérivée est positive, la courbe est croissante sur l'intervalle correspondant. Lorsqu'elle est négative, la courbe est décroissante. Lorsque la dérivée est nulle, la courbe a un point stationnaire.
Résumé
A retenir :
La dérivation est une méthode qui permet de mesurer le taux de variation d'une fonction. La dérivée d'une fonction en un point représente le taux de variation instantanée de la fonction à ce point. On peut la calculer en utilisant les règles de dérivation. La dérivée a également une interprétation géométrique, elle correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction en chaque point. Il est important de connaître les règles de dérivation et de savoir les appliquer pour résoudre des problèmes de calcul différentiel.
